Utilizator:Popetititiana-FMI-13

Raport

Prin raportul numerelor raţionale pozitive a şi b, cu b≠0, se înţelege numărul raţional a:b, notat $\frac{a}{b}$ . Scrierea $\frac{a}{b}$ este raportul, iar a şi b sunt termenii raportului.

Valoarea unui raport $\frac{a}{b}$ este numărul c care se obţine din relaţia c=a:b.

Exemplu: Într-o clasă sunt 12 fete şi 16 băieţi. Spunem că raportul dintre numărul fetelor şi cel al băieţilor este egal cu $\frac{12}{16}$ . Valoarea raportului 12:16=0,75.

1. La scrierea raportului a două mărimi de aceeaşi natură, acestea trebuie exprimate în aceeaşi unitate de măsură. De exemplu, dacă lăţimea unui dreptunghi este egală cu 120 cm,iar lungimea este egală cu 3,6 m, pentru a afla raportul dintre lăţime si lungime, întâi transformăm L=3,6m =360 cm şi apoi avem $\frac{l}{L}$ = $\frac{120}{360}$ cm= $\frac{1}{3}$ .

2. Se pot forma rapoarte şi cu cantităţi de tipuri diferite. De exemplu, dacă unui om îi trebuie 3 ore pentru a parcurge 12 km, atunci se formează raportul $\frac{12}{3}$ $\frac{k m}{h}$ = 4km/h.

Exemple de rapoarte utilizate în practică

1.Scara unei hărţi este raportul dintre distanţa de pe hartă şi distanţa pe teren.

2.Concentraţia unei soluţii este raportul dintre masa substanţei care se dizolva şi masa soluţiei.

3.Titlul unui aliaj este raportul dintr masa metalului preţios si masa aliajului.

Exemple

a. Pe o hartă, unui segment ce are lungimea de 1 cm îi corespunde o distanţă în teren egala cu 2 km. Deoarece 2km=200 000 cm , scara hărţii este 1:200000.

b. În 90g de apă se dizolvă 10g sare. Concentraţia soluţiei este egală cu : $\frac{10}{190 + 10} = \frac{10}{200} = \frac{5}{100}$ =5%

c. Un aliaj conţine 240 g aur si 960 g cupru. Titlul aliajului este egal cu : $\frac{240}{240 + 960} = \frac{240}{1200} = \frac{1}{5} = \frac{200}{1000}$ =0,2

Raportul Procentual

Este un raport de forma $\frac{p}{100}$ care se notează p%. Daca p% din x este egal cu y, scriem $\frac{p}{100}$ ∙x=y. În această relaţie p% reprezintă raportul procentual, ceea ce scrie după cuvântul din, adică x, reprezintă întregul, iar y reprezintă partea corespunzătoare din întreg.
Avem 3 tipuri de aplicaţii:
a. Aflarea raportului procentual (se cere p%): $\frac{p}{100}$ ∙x=y.
b. Determinarea a p% dintr-un număr dat x(se cere y) : p% din x= $\frac{p}{100}$ ∙x.

c. Aflarea unui număr când se ştie p% din el (se cere x):

p% din x=y<=> $\frac{p}{100}$ ∙x=y=>y=x: $\frac{p}{100}$ =x∙ $\frac{100}{y}$

Exemple
a. O gospodina a cheltuit 90 lei din cei 150 de lei pe care îi avea. Cât la sută din sumă a cheltuit?
Rezolvare: Avem p%= $\frac{90}{150}$ ∙100= $\frac{3}{5}$ ∙100=60=≫p%=60%.

b. O gospodină avea la ea 150 lei şi a cheltuit la magazin 60% din sumă. Ce sumă a cheltuit?
Rezolvare. Ştim raportul procentual şi întregul : 60% din 150= $\frac{60}{100}$ ∙150=6∙15=90 lei

c. O gospodină a cheltuit 60% din suma pe care o avea, adică 90 lei. Ce sumă avea gospodina la ea?
Rezolvare. Fie s suma pe care o avea gospodina. Atunci : 60% din s =90 <=> $\frac{60}{100}$ ∙s=90<=>s=90∶ $\frac{3}{5}$ <=>s=90∙ $\frac{5}{3}$ =150 lei

Creşteri şi scăderi cu P%

Dacă un număr x creşte, respectiv scade cu p%, atunci :

Cand creste devine: x+ $\frac{p}{100}$ x=(1+ $\frac{p}{100}$ )x=( $\frac{100}{100}$ + $\frac{p}{100}$ )x= $\frac{100 + p}{100}$ x=(100+p)%x .

Cand scade devine : x- $\frac{p}{100}$ x=(1- $\frac{p}{100}$ )x=( $\frac{100}{100}$ - $\frac{p}{100}$ )x= $\frac{100 - p}{100}$ x=(100-p)%x.

Proporţii

Egalitatea a două rapoarte se numeşte proporţie.

Dacă rapoartele $\frac{a}{b}$ şi $\frac{c}{d}$ au aceeaşi valoare, ele formează proporţia $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ , iar numerele a,b,c,d se numesc termenii proporţiei.

Termenii a si d se numesc extremi, iar termenii b si c se numesc mezi.

Proprietatea fudamentală a proporţiilor
Într-o proporţie produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.
$\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ <=> ad=bc,unde b≠0 şi d≠0
Reciproc, daca numerele a,b,c,d verifică relaţia ad=bc , atunci ele pot fi termenii unei proporţii.

Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie
Dacă într-o proporţie un singur teremen este necunoscut, din proprietatea fundamentală a proporţiei , acesta se poate determina astfel :
un extrem = $\frac{p r o d u s u l m e z i l o r}{c e l a l a l t e x t r e m}$ sau un mez = $\frac{p r o d u s u l e x t r e m i l o r}{c e l a l a l t m e z}$

Proporţii Derivate

1.Proporţii derivate cu aceeaşi termeni :

a. $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ => $\frac{d}{b}$ = $\frac{c}{a}$ (schimbarea extremilor între ei)

b. $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ => $\frac{a}{c}$ = $\frac{b}{d}$ (schimbarea mezilor între ei)

c. $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ => $\frac{b}{a}$ = $\frac{d}{b}$ inversarea fiecărui raport

2.Proporţii derivate cu alţi termeni :

a1. $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ => $\frac{a}{b}$ = $\frac{a + c}{b + d}$ ; a2. $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ => $\frac{a}{b}$ = $\frac{a - c}{b - d}$ , în cazul b≠d

b1. $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ => $\frac{a}{a + b}$ = $\frac{c}{c + d}$ ; b2. $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ => $\frac{a}{a - b}$ = $\frac{c}{c - d}$ ,î𝑛 𝑐𝑎𝑧𝑢𝑙 𝑎≠𝑏

c1. $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ => $\frac{a + b}{b}$ = $\frac{c + d}{d}$ ; c2. $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ => $\frac{a - b}{b}$ = $\frac{c - d}{d}$

d1. $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ => $\frac{a}{b}$ = $\frac{n c}{n d}$ ; d2. $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ => $\frac{a}{m b}$ = $\frac{c}{m d}$ , unde m≠0 şi n≠0

e. $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ => $\frac{k a}{m a + m b}$ = $\frac{k c}{m c + n d}$ , unde k,m,n ϵ Q₊ astfel încât ma+nb≠0

Exemple

a1. $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{9}$ => $\frac{2}{3}$ = $\frac{2 + 6}{3 + 9}$ => $\frac{2}{3}$ = $\frac{8}{12}$ ; a2. $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{9}$ => $\frac{2}{3}$ = $\frac{6 - 2}{9 - 3}$ => $\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{6}$

b1. $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{9}$ => $\frac{2}{2 + 3}$ = $\frac{6}{6 + 9}$ => $\frac{2}{5}$ = $\frac{6}{15}$ ; b2. $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{9}$ => $\frac{2}{3 - 2}$ = $\frac{6}{9 - 6}$ => $\frac{2}{1}$ = $\frac{6}{3}$

c1. $\frac{5}{4}$ = $\frac{5}{12}$ => $\frac{5 + 4}{4}$ = $\frac{15 + 12}{12}$ => $\frac{9}{4}$ = $\frac{27}{12}$ ; c2. $\frac{5}{4}$ = $\frac{5}{12}$ => $\frac{5 - 4}{4}$ = $\frac{15 - 12}{12}$ => $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{12}$

d1. $\frac{2}{7}$ = $\frac{6}{21}$ => $\frac{2}{7}$ = $\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 12}$ => $\frac{2}{7}$ = $\frac{30}{105}$ ; d2. $\frac{2}{7}$ = $\frac{6}{21}$ => $\frac{2}{4 \cdot 7}$ = $\frac{6}{4 \cdot 21}$ => $\frac{2}{28}$ = $\frac{6}{84}$

e. $\frac{5}{3}$ = $\frac{10}{6}$ => $\frac{2 \cdot 5}{4 \cdot 3 + 7 \cdot 5}$ = $\frac{2 \cdot 10}{4 \cdot 6 + 7 \cdot 10}$ => $\frac{10}{47}$ = $\frac{20}{94}$

Şir de rapoarte egale

Mai multe rapoarte care au aceeaşi valoare formează un şir de rapoarte egale :

$\frac{a_{1}}{b_{1}}$ = $\frac{a_{2}}{b_{2}}$ = ... = $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ .

Proprietatea 1. $\frac{a_{1}}{b_{1}}$ = $\frac{a_{2}}{b_{2}}$ = ... = $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ = $\frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{b_{1} + b_{2} + .. + b_{n}}$ , unde b₁ + b₂ + ... + b_n ≠ 0 .

Exemplu: $\frac{3}{7}$ = $\frac{6}{14}$ = $\frac{30}{7}$ = $\frac{3 + 6 + 30}{7 + 14 + 70}$ = $\frac{39}{91}$ .

Proprietatea 2. $\frac{a_{1}}{b_{1}}$ = $\frac{a_{2}}{b_{2}}$ = ... = $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ = $\frac{a_{1} k + a_{2} m + ... + a_{n} r}{b_{1} k + b_{2} m + .. + b_{n} r}$ , unde b₁k + b₂m + ... + b_nr ≠ 0 .

Exemplu: $\frac{5}{2}$ = $\frac{10}{4}$ = $\frac{5}{6}$ = $\frac{5 \cdot 3 + 10 \cdot 7 + 15 \cdot 6}{2 \cdot 3 + 4 \cdot 7 + 6 \cdot 6}$ = $\frac{175}{70}$ .