Analiză matematică/Integrale duble/Exerciții

1. Să se afle volumul solidului $S$ mărginit de paraboloidul eliptic $x^{2}+2y^{2}=16,$ de planele $x=2,\;y=2$ şi cele trei plane de coordonate.

R. Se observă că $S$ este solidul care rămâne între suprafaţa $z=16-x^{2}-2y^{2}$ şi deasupra pătratului $R=[0,2]\times [0,2].$ Folosind teorema lui Fubini, rezultă:

$\iint _{\mathbf {R} }(16-x^{2}-2y^{2})dA=\int _{0}^{2}\int _{0}^{2}(16-x^{2}-2y^{2})dxdy=$

$=\int _{0}^{2}(16x-{\frac {x^{3}}{3}}-2y^{2}x){\Bigg \vert }_{0}^{2}dy=\int _{0}^{2}\left({\frac {88}{3}}-4y^{2}\right)dy=48.$

---

2. Să se calculeze integrala dublă:

$\iint _{D}(x^{2}+y^{2})dxdy$, $D$ fiind domeniul limitat de cercul de ecuaţie $x^{2}+y^{2}=2ax.$

R. Ecuaţia domeniului $D$ se mai poate scrie:

$(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2},$

deci aceasta defineşte cercul cu centrul în punctul de coordonate $(a,0)$ şi de rază $a.$ Deci este convenabil să utilizăm coordonatele polare pentru calculul integralei duble date.

Se face schimbarea de variabile $(x,y)\to (r,\theta )$, dată prin transformarea ${\begin{cases}x-a=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \end{cases}}$

Noul domeniu de integrare (domeniul transformat) este:

$D^{*}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|0\leq r\leq a,\;0\leq \theta \leq 2\pi \}.$

Jacobianul acestei transformări este:

$J={\frac {D(x,y)}{D(r,\theta )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\cdot \sin \theta \\\sin \theta &r\cdot \cos \theta \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta =r,$

iar $x^{2}+y^{2}=a^{2}+2ar\cos \theta +r^{2}.$

Integrala de calculat devine:

$\iint _{D}(a^{2}+2ar\cos \theta +r^{2})rdrd\theta =\int _{0}^{a}\left[\int _{0}^{2\pi }(a^{2}r+2ar^{2}\cos \theta +r^{3})d\theta \right]dr=2\pi \int _{0}^{a}(a^{2}r+r^{3})dr={\frac {3\pi a^{4}}{2}}.$

---