Probleme cu derivate și nu numai/Continuitatea funcțiilor

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !

Ce înseamnă funcție continuă?[modificare]


Fie funcția și Se spune că funcția este continuă în punctul a, dacă există și

Punctul a se numește punct de continuitate pentru funcția .


O funcție este discontinuă în punctul dacă nu este continuă în acest punct.

Punctul a se numește punct de discontinuitate al funcției .


Un exemplu simplu:[modificare]

Studiați continuitatea funcției în punctul

Pentru ca funcția să fie continuă în punctul a = 3 trebuie îndeplinite, conform definiției, două condiții:

  • să existe .
  • să fie egală cu .

În cazul în care prima condiție nu este îndeplinită, atunci funcția nu este continuă în acel punct. Pentru a verifica această primă condiție, a existenței limitei, se calculează limitele laterale în punctul a = 3, astfel:

Deci, limita există,

Acum trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = 3, astfel:

Observăm că deci funcția este continuă în punctul a = 3.


Continuitate vs discontinuitate...[modificare]

Fie punct de discontinuitate pentru

  • Punctul se numește punct de discontinuitate de speța întâi pentru funția dacă are limite laterale finite în a.
  • Punctul se numește punct de discontinuitate de speța a doua pentru funția dacă nu este punct de discontinuitate de speța întâi, adică dacă cel puțin una din limitele laterale nu există sau este infinită.

Exemple de funcții continue:[modificare]

Dacă funcția este continuă în orice punct al domeniului de definiție, atunci spunem că funcția este continuă, fără a mai indica mulțimea pe care are această proprietate.

Funcțiile elementare sunt funcții continue. Funcțiile elementare sunt următoarele:

  • Funcția polinomială
  • Funcția rațională
  • Funcția radical
  • Funcția putere
  • Funcția exponențială
  • Funcția logaritmică
  • Funcțiile trigonometrice directe sin, cos, tg, ctg
  • Funcțiile trigonometrice inverse arcsin, arccos, arctg, arcctg