De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Când
x
{\displaystyle x}
c
,
{\displaystyle c,}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
L
.
{\displaystyle L.}
Conceptul de limită a unei funcții este o noțiune de bază în cadrul calculului diferențial și integral.
Definiție.
Fie funcția
f
:
D
⊆
R
→
R
,
{\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
D
.
{\displaystyle D.}
l
∈
R
{\displaystyle l\in \mathbb {R} }
limita funcției f în punctul
x
0
{\displaystyle x_{0}}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l}
∀
ε
>
0
,
∃
δ
(
ε
)
>
0
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\exists \delta (\varepsilon )>0}
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
|
x
−
x
0
|
<
δ
(
ε
)
{\displaystyle |x-x_{0}|<\delta (\varepsilon )}
|
f
(
x
−
f
(
x
0
)
|
<
ε
.
{\displaystyle |f(x-f(x_{0})|<\varepsilon .}
Definiție.
Se spune că funcția
f
:
D
→
R
{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }
l
{\displaystyle l}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
x
0
(
x
n
∈
D
,
x
n
≠
x
0
)
{\displaystyle x_{0}\;(x_{n}\in D,x_{n}\neq x_{0})}
(
f
(
x
n
)
)
n
∈
N
{\displaystyle (f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }}
l
.
{\displaystyle l.}
Se poate demonstra că cele două definiții sunt echivalente.
Graficul lui
f
(
x
)
=
1
x
,
x
≠
0.
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},\;x\neq 0.}
1)
Valorile funcției
f
:
R
∗
→
R
∗
,
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*},\;f(x)={\frac {1}{x}}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
.
{\displaystyle -\infty .}
2)
Considerăm funcția
f
:
R
+
∗
→
R
,
f
(
x
)
=
sin
x
x
.
{\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} ,\;f(x)={\frac {\sin x}{x}}.}
x
=
0
,
{\displaystyle x=0,}
x
→
0
,
{\displaystyle x\to 0,}
x
sin
x
x
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}
1
0.841471...
0.1
0.998334...
0.01
0.999983...
Se va demonstra ulterior că:
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1.
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}
I. Noţiuni introductive
1. Mulțimi, numere, structuri
2. Sisteme de ecuații liniare
3. Funcții elementare
II. Calculul
1. Șiruri și serii
2. Funcții: limite și continuitate
3. Derivate și diferențiale
4. Șiruri și serii de funcții
5. Funcții de mai multe variabile
6. Funcții implicite
7. Schimbări de variabile
III. Calculul
1. Integrale definite și nedefinite
2. Extinderea noțiunii de integrală definită
3. Integrale curbilinii
4. Integrale duble și de suprafață
5. Integrale triple
IV. Ecuații
diferențiale
1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi
2. Ecuații diferențiale de ordin superior
3. Sisteme de ecuații diferențiale
4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi
Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv.
