Cel mai cunoscut mod de a reprezenta un punct în planul
îl constituie coordonatele rectangulare
Anumite probleme necesită utilizarea coordonatelor polare
care sunt legate de cele rectangulare prin relațiile:
![{\displaystyle x=r\cos \theta ,\;\;y=r\sin \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffae90e8ef723ab65daf989022e8ff64b48d8fc3)
unde
În 1671, Isaac Newton a scris o lucrare intitulată Metoda fluxiunilor și serii infinite, care conținea o modalitate de rezolvare a problemelor de geometrie prin utilizarea sistemelor de coordonate. Aici a introdus, printre altele, sistemul de coordonate polare.
În 1691, Jacob Bernoulli a publicat un document care de asemenea conținea referiri la coordonatele polare.
Dar, deoarece lucrarea lui Newton a fost publicată abia după moartea acestuia în 1727, paternitatea descoperirii coordonatelor polare este atribuită lui Bernoulli.
În 1773, Joseph Louis Lagrange studia teoria gravitației a lui Newton și modul cum aceasta se aplică asupra elipsoidului de revoluție.
Deoarece calculele integrale erau dificil de efectuat, a introdus coordonatele sferice.
Coordonatele sferice sunt de asemenea utile în domeniul navigației după longitudine și latitudine.
Astfel, în cazul coordonatelor geografice, longitudinea este pozitivă sau negativă după cum unghiul
, măsurat de la Greenwich, este măsurat spre est sau spre vest, iar latitudinea este de nord sau de sud după cum unghiul
este pozitiv sau negativ.
Coordonatele cilindrice
ale unui punct
sunt definite ca:
(1)
Pentru a exprima
cu ajutorul lui
și pentru a ne asigura că
putem scrie:
![{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \theta ={\begin{cases}\arctan {\frac {y}{x}}&dac{\breve {a}}\;x>0,y\geq 0\\\pi +\arctan {\frac {y}{x}}&dac{\breve {a}}\;x<0\\2\pi +\arctan {\frac {y}{x}}&dac{\breve {a}}\;x>0,\;y<0\end{cases}}\qquad z=z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80be05980a968b7cf1c5ed470875f37208533938)
unde
este luat între
și
Necesitatea ca
determină un unic
și
pentru un anumit
și
Dacă
atunci
pentru
și
pentru
Dacă
atunci
nu este definit.
Cu alte cuvinte, pentru orice punct
se poate rescrie primele două coordonate în termeni de coordonate polare, iar a treia să rămână neschimbată.
Formula (1) arată faptul că, dându-se
tripletul
este complet determinat și invers, dacă restricționăm
la intervalul
(uneori este convenabil și domeniul
) și impunem ca
Pentru a înțelege de ce se utilizează denumirea de coordonate cilindrice, trebuie să remarcăm faptul că dacă sunt respectate condițiile
și
este o constantă pozitivă, atunci locul acestui punct este cilindrul de rază
- (a) Determinați coordonatele cilindrice ale punctului
![{\displaystyle 6,6,8.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8e1e4c01ad9055b3a2defbbd0e96cb308b333e)
- (b) Dacă un punct are coordonatele cilindrice
care sunt coordonatele carteziene?
Soluție.
- (a) Avem:
și ![{\displaystyle \theta =\arctan {\frac {6}{6}}={\frac {\pi }{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04273bdba9417c5283ab005b1476db6f36a93c6b)
Deci coordonatele cilindrice sunt
- (b) Avem
deci
![{\displaystyle x=r\cos \theta =8\cos {\frac {2\pi }{3}}=-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e10416883d2e842a452fb0b23b02366d27347db)
![{\displaystyle y=r\sin \theta =8\sin {\frac {2\pi }{3}}=4{\sqrt {3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2748f48db5634fc1df3e6ebd9f29c390f8a3998)
Deci coordonatele carteziene sunt
Coordonatele cilindrice nu reprezintă singura modalitate de generalizare a coordonatelor polare în spațiul tridimensional.
Să ne amintim că, în plan, modulul vectorului
(care este
) este acel
din sistemul de coordonate polare.
În cazul coordonatelor cilindrice, lungimea vectorului
și anume
nu este una dintre coordonatele acestui sistem, în locul acesteia utilizând modulul
unghiul
și înălțimea
Vom modifica aceasta introducând sistemul de coordonate sferice, care utilizează
drept coordonată.
Coordonatele sferice sunt eficace în problemele în care apare o simetrie sferică, în timp ce coordonatele cilindrice sunt utile în cazul simetriei față de o dreaptă.
Dându-se un punct
fie:
![{\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b3c6c0a91132f6af7b97ace20d5f6c19bc2ea8)
și să reprezentăm
prin coordonate polare în planul
(2)
unde
și
este determinat de formula (1) [vezi expresia pentru
care succede formulei (1)].
Coordonata
este dată de:
![{\displaystyle z=\rho \cos \phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e336c9617e83682fbcc5654312f317b23d107a3a)
unde
este unghiul pe care îl face cu
raza vectoare
în planul format de
Cu ajutorul produsului scalar, se obține:
adică ![{\displaystyle \phi =\arccos \left({\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} }{\|\mathbf {v} \|}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc20341dc838d93d8e74fabbfee55c9b5563512)
Deoarece:
![{\displaystyle r=\rho \sin \phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df62f2d6545890978dd7099bc1f875422385f9a5)
putem utiliza formula (2) pentru trecerea de la coordonate carteziene la cele sferice:
|
Definiție.
Coordonatele sferice ale punctului reprezintă tripletul definit astfel:
![{\displaystyle x=\rho \sin \phi \cos \theta ,\qquad y=\rho \sin \phi \sin \theta ,\qquad z=\rho \cos \phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a49aad2c46505120c96003afe7638de97883277)
unde:
![{\displaystyle \rho \geq 0,\qquad 0\leq \theta \leq 2\pi ,\qquad 0\leq \phi \leq \pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b6298450b1c6ed862ca33c47b5ad7f17236225d)
|
|
- (a) Determinați coordonatele sferice ale punctului dat de coordonatele carteziene
![{\displaystyle (1,-1,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79f5a55ff529f5d234495f61a1dfe9ec70d3132)
- (b) Determinați coorodnatele carteziene ale punctului definit de coordonatele sferice
![{\displaystyle (3,{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{4}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba315cd8bfb03a47d41c99c4cd41d05c0e318fe)
- (c) Fie punctul definit prin coordonatele carteziene
Determinați coordonatele sferice ale acestuia.
- (d) Determinați coordonatele carteziene ale punctului definit prin coordonatele sferice
![{\displaystyle (1,-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{4}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fbdf85abe3cada0b88fd1bacd89892467c79d0)
Soluție.
- (a)
![{\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}={\sqrt {1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47fcb92081b02bf961c826f7cdba2cffa5fbc05)
![{\displaystyle \theta =2\pi +\arctan {\frac {y}{x}}=2\pi -{\frac {\pi }{4}}={\frac {7\pi }{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddd446ff31e6a328ceab3c4c5d1f5f0ffaf9454)
![{\displaystyle \phi =\arccos {\frac {z}{\rho }}=\arccos {\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0,955\approx 54,74^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0caf01911654fba7fe15ab2e925e2749f0f4097)
- (b)
![{\displaystyle x=\rho \sin \phi \cos \theta =3\sin {\frac {\pi }{4}}\cos {\frac {\pi }{6}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8b7a1b387aa39d6f583f750a3f4412f5921355)
![{\displaystyle y=\rho \sin \phi \sin \theta =3\sin {\frac {\pi }{4}}\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {3}{2{\sqrt {2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85940da59a9a85fc7647313e428af4baf2e68c4f)
![{\displaystyle z=\rho \cos \phi =3\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c984e19be4bdefd274e33022268d92fb97befbd)