Calcul vectorial/Coordonate cilindrice și sferice

Cel mai cunoscut mod de a reprezenta un punct în planul $\mathbb {R} ^{2}$ îl constituie coordonatele rectangulare $(x,y).$ Anumite probleme necesită utilizarea coordonatelor polare $(r,\theta ),$ care sunt legate de cele rectangulare prin relațiile:

$x=r\cos \theta ,\;\;y=r\sin \theta ,$

unde $r\geq 0,\;0\leq \theta \leq 2\pi .$

Istoric

În 1671, Isaac Newton a scris o lucrare intitulată Metoda fluxiunilor și serii infinite, care conținea o modalitate de rezolvare a problemelor de geometrie prin utilizarea sistemelor de coordonate. Aici a introdus, printre altele, sistemul de coordonate polare.

În 1691, Jacob Bernoulli a publicat un document care de asemenea conținea referiri la coordonatele polare. Dar, deoarece lucrarea lui Newton a fost publicată abia după moartea acestuia în 1727, paternitatea descoperirii coordonatelor polare este atribuită lui Bernoulli.

În 1773, Joseph Louis Lagrange studia teoria gravitației a lui Newton și modul cum aceasta se aplică asupra elipsoidului de revoluție. Deoarece calculele integrale erau dificil de efectuat, a introdus coordonatele sferice.

Coordonatele sferice sunt de asemenea utile în domeniul navigației după longitudine și latitudine. Astfel, în cazul coordonatelor geografice, longitudinea este pozitivă sau negativă după cum unghiul $\theta$, măsurat de la Greenwich, este măsurat spre est sau spre vest, iar latitudinea este de nord sau de sud după cum unghiul ${\frac {\pi }{2}}-\phi$ este pozitiv sau negativ.

Coordonate cilindrice

Coordonatele cilindrice $(r,\theta ,z)$ ale unui punct $(x,y,z)$ sunt definite ca:

$x=r\cos \theta ,\;y=r\sin \theta ,\;z=z.\qquad$   (1)

Pentru a exprima $r,\theta ,z$ cu ajutorul lui $x,y,z$ și pentru a ne asigura că $\theta \in [0,2\pi ],$ putem scrie:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \theta ={\begin{cases}\arctan {\frac {y}{x}}&dac{\breve {a}}\;x>0,y\geq 0\\\pi +\arctan {\frac {y}{x}}&dac{\breve {a}}\;x<0\\2\pi +\arctan {\frac {y}{x}}&dac{\breve {a}}\;x>0,\;y<0\end{cases}}\qquad z=z,$

unde $\arctan {\frac {y}{x}}$ este luat între $-{\frac {\pi }{2}}$ și ${\frac {\pi }{2}}.$ Necesitatea ca $\theta \in [0,2\pi ]$ determină un unic $\theta$ și $r\geq 0$ pentru un anumit $x$ și $y.$ Dacă $x=0,$ atunci $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ pentru $y>0$ și ${\frac {3\pi }{2}}$ pentru $y<0.$ Dacă $x=y=0,$ atunci $\theta$ nu este definit.

Cu alte cuvinte, pentru orice punct $(x,y,z)$ se poate rescrie primele două coordonate în termeni de coordonate polare, iar a treia să rămână neschimbată. Formula (1) arată faptul că, dându-se $(r,\theta ,z),$ tripletul $(x,y,z)$ este complet determinat și invers, dacă restricționăm $\theta$ la intervalul $[0,2\pi ]$ (uneori este convenabil și domeniul $(-\pi ,\pi ]$) și impunem ca $r>0.$

Pentru a înțelege de ce se utilizează denumirea de coordonate cilindrice, trebuie să remarcăm faptul că dacă sunt respectate condițiile $0\leq \theta <2\pi ,\;-\infty <z<\infty$ și $r=a$ este o constantă pozitivă, atunci locul acestui punct este cilindrul de rază $a.$

Exemple.

(a) Determinați coordonatele cilindrice ale punctului $6,6,8.$

(b) Dacă un punct are coordonatele cilindrice $(8,{\frac {2\pi }{3}},-3),$ care sunt coordonatele carteziene?

Soluție.

(a) Avem: $r={\sqrt {6^{2}+6^{2}}}=6{\sqrt {2}}$ și $\theta =\arctan {\frac {6}{6}}={\frac {\pi }{4}}.$

Deci coordonatele cilindrice sunt $(6{\sqrt {2}},{\frac {\pi }{4}},8).$

(b) Avem ${\frac {2\pi }{3}}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{6}}$ deci

$x=r\cos \theta =8\cos {\frac {2\pi }{3}}=-4$

$y=r\sin \theta =8\sin {\frac {2\pi }{3}}=4{\sqrt {3}}.$

Deci coordonatele carteziene sunt $(-4,4{\sqrt {3}},-3).$

Coordonate sferice

Coordonatele cilindrice nu reprezintă singura modalitate de generalizare a coordonatelor polare în spațiul tridimensional. Să ne amintim că, în plan, modulul vectorului $x\mathbf {i} +y\mathbf {j}$ (care este ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$) este acel $r$ din sistemul de coordonate polare. În cazul coordonatelor cilindrice, lungimea vectorului $x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k}$ și anume $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ nu este una dintre coordonatele acestui sistem, în locul acesteia utilizând modulul ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$ unghiul $\theta$ și înălțimea $z.$

Vom modifica aceasta introducând sistemul de coordonate sferice, care utilizează $\rho$ drept coordonată. Coordonatele sferice sunt eficace în problemele în care apare o simetrie sferică, în timp ce coordonatele cilindrice sunt utile în cazul simetriei față de o dreaptă.

Dându-se un punct $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},$ fie:

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

și să reprezentăm $x,y$ prin coordonate polare în planul $xy:$

$x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta ,\qquad$   (2)

unde $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ și $\theta$ este determinat de formula (1) [vezi expresia pentru $\theta$ care succede formulei (1)]. Coordonata $z$ este dată de:

$z=\rho \cos \phi ,$

unde $\phi \in [0,\pi ]$ este unghiul pe care îl face cu $Oz$ raza vectoare $\mathbf {v} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k}$ în planul format de $\mathbf {v} ,Ox.$

Cu ajutorul produsului scalar, se obține:

$\cos \phi ={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} }{\|\mathbf {v} \|}},\qquad$ adică $\phi =\arccos \left({\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} }{\|\mathbf {v} \|}}\right).$

Deoarece:

$r=\rho \sin \phi ,$

putem utiliza formula (2) pentru trecerea de la coordonate carteziene la cele sferice:

Definiție. Coordonatele sferice ale punctului $(x,y,z)$ reprezintă tripletul $(\rho ,\theta ,\phi )$ definit astfel: $x=\rho \sin \phi \cos \theta ,\qquad y=\rho \sin \phi \sin \theta ,\qquad z=\rho \cos \phi ,$ unde: $\rho \geq 0,\qquad 0\leq \theta \leq 2\pi ,\qquad 0\leq \phi \leq \pi .$

Exemple

(a) Determinați coordonatele sferice ale punctului dat de coordonatele carteziene $(1,-1,1).$

(b) Determinați coorodnatele carteziene ale punctului definit de coordonatele sferice $(3,{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{4}}).$

(c) Fie punctul definit prin coordonatele carteziene $(2,3,-6).$ Determinați coordonatele sferice ale acestuia.

(d) Determinați coordonatele carteziene ale punctului definit prin coordonatele sferice$(1,-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{4}}).$

Soluție.

(a) $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}={\sqrt {1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {3}},$

$\theta =2\pi +\arctan {\frac {y}{x}}=2\pi -{\frac {\pi }{4}}={\frac {7\pi }{4}},$

$\phi =\arccos {\frac {z}{\rho }}=\arccos {\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0,955\approx 54,74^{\circ }.$

(b) $x=\rho \sin \phi \cos \theta =3\sin {\frac {\pi }{4}}\cos {\frac {\pi }{6}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}},$

$y=\rho \sin \phi \sin \theta =3\sin {\frac {\pi }{4}}\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {3}{2{\sqrt {2}}}},$

$z=\rho \cos \phi =3\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}.$