Calcul vectorial/Coordonate cilindrice și sferice

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Sari la navigare Sari la căutare

Cel mai cunoscut mod de a reprezenta un punct în planul îl constituie coordonatele rectangulare Anumite probleme necesită utilizarea coordonatelor polare care sunt legate de cele rectangulare prin relațiile:

unde

Istoric[modificare]

În 1671, Isaac Newton a scris o lucrare intitulată Metoda fluxiunilor și serii infinite, care conținea o modalitate de rezolvare a problemelor de geometrie prin utilizarea sistemelor de coordonate. Aici a introdus, printre altele, sistemul de coordonate polare.

În 1691, Jacob Bernoulli a publicat un document care de asemenea conținea referiri la coordonatele polare. Dar, deoarece lucrarea lui Newton a fost publicată abia după moartea acestuia în 1727, paternitatea descoperirii coordonatelor polare este atribuită lui Bernoulli.

În 1773, Joseph Louis Lagrange studia teoria gravitației a lui Newton și modul cum aceasta se aplică asupra elipsoidului de revoluție. Deoarece calculele integrale erau dificil de efectuat, a introdus coordonatele sferice.

Coordonatele sferice sunt de asemenea utile în domeniul navigației după longitudine și latitudine. Astfel, în cazul coordonatelor geografice, longitudinea este pozitivă sau negativă după cum unghiul , măsurat de la Greenwich, este măsurat spre est sau spre vest, iar latitudinea este de nord sau de sud după cum unghiul este pozitiv sau negativ.

Coordonate cilindrice[modificare]

Coordonatele cilindrice ale unui punct sunt definite ca:

  (1)

Pentru a exprima cu ajutorul lui și pentru a ne asigura că putem scrie:

unde este luat între și Necesitatea ca determină un unic și pentru un anumit și Dacă atunci pentru și pentru Dacă atunci nu este definit.

Cu alte cuvinte, pentru orice punct se poate rescrie primele două coordonate în termeni de coordonate polare, iar a treia să rămână neschimbată. Formula (1) arată faptul că, dându-se tripletul este complet determinat și invers, dacă restricționăm la intervalul (uneori este convenabil și domeniul ) și impunem ca

Pentru a înțelege de ce se utilizează denumirea de coordonate cilindrice, trebuie să remarcăm faptul că dacă sunt respectate condițiile și este o constantă pozitivă, atunci locul acestui punct este cilindrul de rază

Exemple.[modificare]

(a) Determinați coordonatele cilindrice ale punctului
(b) Dacă un punct are coordonatele cilindrice care sunt coordonatele carteziene?

Soluție.

(a) Avem: și

Deci coordonatele cilindrice sunt

(b) Avem deci

Deci coordonatele carteziene sunt

Coordonate sferice[modificare]

Coordonatele cilindrice nu reprezintă singura modalitate de generalizare a coordonatelor polare în spațiul tridimensional. Să ne amintim că, în plan, modulul vectorului (care este ) este acel din sistemul de coordonate polare. În cazul coordonatelor cilindrice, lungimea vectorului și anume nu este una dintre coordonatele acestui sistem, în locul acesteia utilizând modulul unghiul și înălțimea

Vom modifica aceasta introducând sistemul de coordonate sferice, care utilizează drept coordonată. Coordonatele sferice sunt eficace în problemele în care apare o simetrie sferică, în timp ce coordonatele cilindrice sunt utile în cazul simetriei față de o dreaptă.

Dându-se un punct fie:

și să reprezentăm prin coordonate polare în planul

  (2)

unde și este determinat de formula (1) [vezi expresia pentru care succede formulei (1)]. Coordonata este dată de:

unde este unghiul pe care îl face cu raza vectoare în planul format de

Cu ajutorul produsului scalar, se obține:

adică

Deoarece:

putem utiliza formula (2) pentru trecerea de la coordonate carteziene la cele sferice:

Definiție. Coordonatele sferice ale punctului reprezintă tripletul definit astfel:

unde:

Exemple[modificare]

(a) Determinați coordonatele sferice ale punctului dat de coordonatele carteziene
(b) Determinați coorodnatele carteziene ale punctului definit de coordonatele sferice
(c) Fie punctul definit prin coordonatele carteziene Determinați coordonatele sferice ale acestuia.
(d) Determinați coordonatele carteziene ale punctului definit prin coordonatele sferice

Soluție.

(a)
(b)