Sari la conținut

Calcul vectorial/Vectori

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !

Noțiunea de vector reprezintă un concept fundamental în teoria calculului vectorial.

Definiție[modificare]

Se consideră vectorul ca fiind un segment orientat cu originea în originea axelor de coordonate, extremitatea în punctul și de lungime egală cu modulul vectorului. Se notează

Un vector este numit vector legat când originea sa este fixată în originea axelor de coordonate și vector liber (pe scurt vector) când nu există restricții privind poziția originii acestuia.

Doi vectori și sunt egali dacă și numai dacă și

Reprezentarea grafică a unui punct de coordonate

Un punct din spațiu poate fi reprezentat printr-un triplet de numere reale unde sunt coordonatele carteziene ale lui

Dacă este originea axelor de coordonate , se mai numesc și componentele vectorului Se mai notează și

Uneori, în locul expresiei "punctul de coordonate " se va spune mai simplu "punctul " Mai mult, se mai numește și coordonata x, coordonata y, iar coordonata z.

Se va nota prin mulțimea n-uplurilor cu

Adunarea vectorilor și înmulțirea acestora cu scalari[modificare]

Operația de adunare poate fi extinsă de pe pe și Astfel, pe se definește suma tripletelor și

Elementul este numit elementul zero (sau chiar zero) al lui Dându-se punctul elementul este numit inversul sau negativul și se poate scrie:

Un vector adunat cu inversul acestuia ne dau zero:

O altă operație pe este înmulțirea unui vector cu un scalar, unde prin scalar se înțelege număr real. Astfel, dându-se un scalar și un vector se definește produsul scalar prin:

Proprietăți[modificare]

Adunarea și înmulțirea cu scalari a vectorilor din satisfac proprietățile:

(i)   (asociativitate)

(ii)   (distributivitate)

(iii)   (distributivitate)

(iv)   (element nul)

(v)   (element nul)

(vi)   (element unitate)