Probleme cu derivate și nu numai/Teoreme importante
Proprietatea lui Darboux
[modificare]
Funcțiile continue au proprietatea remarcabilă de a transforma un interval oarecare tot într-un interval. Această proprietate este cunoscută sub numele de proprietatea lui Darboux.
Fie un interval. Se spune că funcția are proprietatea lui Darboux pe intervalul dacă pentru orice puncte și oricare număr real situat între și există cel puțin un punct din intervalul astfel încât
Teoremă (Cauchy-Weierstrass-Bolzano)
[modificare]Orice funcție continuă interval, are proprietatea lui Darboux pe acel interval.
Corolar de localizare a unei rădăcini
[modificare]
Fie o funcție continuă pentru care Atunci există cel puțin un punct astfel încât
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6748327df1f5ecfad143a450b0868aae8f6ec0)
![{\displaystyle c\in [a,b]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c739b1276f3bba74847b56aa59c8b80e507e858)
Altfel spus, dacă o funcție continuă are valori de semne contrare la capetele unui interval, atunci ea se anulează cel puțin o dată pe interval.
Teoremă (Weierstrass)
[modificare]Fie o funcție continuă. Atunci:
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
- este mărginită
- își atinge marginile pe acest interval
Altfel spus, orice funcție continuă pe un interval compact este mărginită și își atinge marginile pe compact.