Analiză matematică/Integrala nedefinită

Fie f o funcţie reală definită pe un interval $I\subset \mathbb {R} .$ Se numeşte primitivă a funcţiei $f:I\to \mathbb {R}$ o funcţie F definită şi derivabilă pe I cu proprietatea:

$F'(x)=f(x),\;\forall x\in I.$

Dacă F este o primitivă a funcţiei f pe I atunci şi $F+{\mathcal {C}}$ este o primitivă a funcţiei f pe I, oricare ar fi constanta ${\mathcal {C}}.$ Reciproc, orice primitivă a lui f este de forma $F+{\mathcal {C}}.$

Se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f mulţimea tuturor primitivelor funcţiei f şi se notează cu $\int f(x)\,\mathrm {d} x.$

Proprietăţi ale integralelor nedefinite

a) Dacă $f:I\to \mathbb {R}$ admite primitive pe I, iar $a\in \mathbb {R} ,$ atunci şi $\mathrm {a} f$ admite primitive şi:

$\int af(x)\,\mathrm {d} x=a\int f(x)\,\mathrm {d} x.$

b) Dacă f şi g admit primitive pe I atunci $f+g$ admite primitive pe I şi:

$\int \left(f(x)+g(x)\right)\,\mathrm {d} x=\int f(x)\mathrm {d} x+\int g(x)\mathrm {d} x$

Integrale nedefinite utilizate frecvent

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{n},\;n\in \mathbb {N} \;\;$ $\int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+{\mathcal {C}}.$

$f:I\to \mathbb {R} ,\;I\subset (0,\infty )\;,\;f(x)=x^{a}\;,\;a\in \mathbb {R} \setminus \{1\}$ $\int x^{a}\mathrm {d} x={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+{\mathcal {C}}.$

$f:I\to \mathbb {R} \;,\;I\subset \mathbb {R} ^{*}\;,\;f(x)={\frac {1}{x}}$ $\int {\frac {1}{x}}\mathrm {d} x=\ln |x|+{\mathcal {C}}.$

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \;,\;f(x)a^{x}\;,\;a>0\;,\;a\neq 1$ $\int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+{\mathcal {C}}.$

$f:I\to \mathbb {R} \;,\;I\subset \mathbb {R} \setminus \{-a,a\}\,,\,f(x)={\frac {1}{x^{2}-a^{2}}}\,,\,a\neq 0$ $\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+{\mathcal {C}}.$

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$