În cele ce urmează, se vor considera șirurile de numere reale, cele multidimensionale urmând a fi studiate în capitolele care urmează.
Un șir de numere reale este o aplicație
și se utilizează notația
Un șir
se numește monoton dacă satisface una din proprietățile:
(șir crescător);
(șir descrescător).
Un șir
se numește mărginit dacă există un
astfel încât
Un șir real se numește convergent dacă există un
numit limita șirului, cu proprietatea:
astfel încât 
În acest caz, se notează:

Definiție.
Un șir de numere reale
se numește șir fundamental sau șir Cauchy dacă pentru orice
există un
astfel încât dacă
atunci
Observație.
În definiția convergenței unui șir apare în mod explicit limita șirului, pe când în definiția unui șir fundamental intervin numai termeni ai șirului, deci aceasta din urmă este o definiție intrinsecă, motiv pentru care teorema următoare este extrem de importantă:
Cauchy)
Un șir de numere reale este convergent dacă și numai dacă este un șir fundamental.
Observație.
Criteriul Cauchy nu este valabil în mulțimea
De exemplu șirul
are termenii raționali, dar limita acestuia este un număr irațional, cum se va demonstra ulterior.
Din acest motiv se spune că mulțimea
este în raport cu distanța euclidiană un spațiu metric complet.
- Criteriul raportului
Dacă șirul
are termenii pozitivi, atunci:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc750123df73e1d1a6e4eff1e0fd9b5d50b2c1af)
dacă ultima limită există.
- Criteriul majorării
Dacă
și
atunci
- Criteriul radicalului
Dacă șirul
este convergent și are termenii pozitivi, atunci:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4770b6ebb90ba2e0922ae0f35e9a4299be736a00)
Șirurile:

sunt convergente și au aceeași limită.
Demonstrație.
- (i) Se va demonstra mai întâi că șirul
(de termeni strict pozitivi) este crescător:

Dar, conform inegalității lui Bernoulli,
Rezultă că:

și aceasta pentru orice
De aici rezultă că
este șir crescător.
- (ii) Acum se va demonstra că
este descrescător:
![{\displaystyle {\frac {y_{n}}{y_{n+1}}}={\frac {n+1}{n+2}}\cdot \left[1+{\frac {1}{n(n+2)}}\right]^{n+1}>{\frac {n+1}{n+2}}\cdot {\frac {n^{2}+3n+1}{n(n+2)}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adad4c79f10d6d470412830a8081191db5f55170)

unde din nou s-a utilizat inegalitatea lui Bernoulli.
- (iii) Deoarece
rezultă șirul de inegalități:

Deci cele două șiruri sunt monotone și mărginite și, conform teoremei lui Weierstrass, sunt convergente.
În continuare, din inegalitățile:


Dar
și rezultă că:

Această limită este notată cu
după inițiala lui Leonhard Euler și are valoarea aproximativă:

Șirul
cu:

este convergent și are limita
Teoremă.
Fie o matrice infinită de numere reale
cu proprietatea că există
astfel încât:

Următoarele afirmații sunt echivalente:
- 1) pentru orice șir convergent de numere reale
șirul
definit prin
este convergent și 
- 2) (i)

- (ii)

|
---|
| I. Noţiuni introductive | 1. Mulțimi, numere, structuri | | | 2. Sisteme de ecuații liniare | | | 3. Funcții elementare | |
| | II. Calculul diferențial | 1. Șiruri și serii | | | 2. Funcții: limite și continuitate | | | 3. Derivate și diferențiale | | | 4. Șiruri și serii de funcții | | | 5. Funcții de mai multe variabile | | | 6. Funcții implicite | | | 7. Schimbări de variabile | |
| | III. Calculul integral | 1. Integrale definite și nedefinite | | | 2. Extinderea noțiunii de integrală definită | | | 3. Integrale curbilinii | | | 4. Integrale duble și de suprafață | | | 5. Integrale triple | |
| | IV. Ecuații
diferențiale | 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi | | | 2. Ecuații diferențiale de ordin superior | | | 3. Sisteme de ecuații diferențiale | | | 4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi | |
| | Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv. |
|