Analiză matematică/Șiruri numerice

În cele ce urmează, se vor considera șirurile de numere reale, cele multidimensionale urmând a fi studiate în capitolele care urmează.

Definiții

Un șir de numere reale este o aplicație $x:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ și se utilizează notația $x(n)=x_{n},\;\forall n\in \mathbb {N} .$

Un șir $x_{n}$ se numește monoton dacă satisface una din proprietățile:

• $x_{n}\leq x_{n+1},\;\forall n\in \mathbb {N}$ (șir crescător);
• $x_{n}\geq x_{n+1},\;\forall n\in \mathbb {N}$ (șir descrescător).

Un șir $x_{n}$ se numește mărginit dacă există un $M\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ astfel încât $|x_{n}|\leq M,\;\forall n\in \mathbb {N} .$

Un șir real se numește convergent dacă există un $l\in \mathbb {R} ,$ numit limita șirului, cu proprietatea:

$\forall \varepsilon >0,\;\exists n(\varepsilon )\in \mathbb {N} \;$ astfel încât $|x_{n}-l|<\varepsilon ,\;\forall n\geq n(\varepsilon )$

În acest caz, se notează:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=l.$

Criterii de convergență

Criteriul Cauchy

Definiție. Un șir de numere reale $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ se numește șir fundamental sau șir Cauchy dacă pentru orice $\varepsilon >0$ există un $n_{0}=n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ astfel încât dacă $m,n\in \mathbb {N} ,m\geq n_{0},n\geq n_{0},$ atunci $|x_{m}-x_{n}|<\varepsilon .$

Observație. În definiția convergenței unui șir apare în mod explicit limita șirului, pe când în definiția unui șir fundamental intervin numai termeni ai șirului, deci aceasta din urmă este o definiție intrinsecă, motiv pentru care teorema următoare este extrem de importantă:

${\text{Teoremă. (Criteriul general de convergență al lui }}$ Cauchy) Un șir de numere reale este convergent dacă și numai dacă este un șir fundamental.

Observație. Criteriul  Cauchy nu este valabil în mulțimea $\mathbb {Q} .$ De exemplu șirul $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} },\;x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ are termenii raționali, dar limita acestuia este un număr irațional, cum se va demonstra ulterior. Din acest motiv se spune că mulțimea $\mathbb {R}$ este în raport cu distanța euclidiană un spațiu metric complet.

Criteriul raportului

Dacă șirul $(a_{n})_{n}$ are termenii pozitivi, atunci:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}},$

dacă ultima limită există.

Criteriul majorării

Dacă $|a_{n}-a|\leq b$  și   $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0,$ atunci $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a.$

Criteriul radicalului

Dacă șirul $(a_{n})_{n}$ este convergent și are termenii pozitivi, atunci:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }a_{n}.$

Numărul e

${\text{Teoremă.}}$ Șirurile:

$\mathbf {e} _{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},\quad y_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}$

sunt convergente și au aceeași limită.

Demonstrație.

(i) Se va demonstra mai întâi că șirul $(\mathbf {e} _{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ (de termeni strict pozitivi) este crescător:

${\frac {\mathbf {e} _{n+1}}{\mathbf {e} _{n}}}={\frac {(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}}\cdot {\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}={\frac {(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}}\cdot \left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}.$

Dar, conform inegalității lui Bernoulli, $\left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}>1-{\frac {n}{(n+1)^{2}}}.$ Rezultă că:

${\frac {\mathbf {e} _{n+1}}{\mathbf {e} _{n}}}>{\frac {(n+1)^{3}+1}{(n+1)^{3}}}>1$

și aceasta pentru orice $n\in \mathbb {N} ^{*}.$

De aici rezultă că $(\mathbf {e} _{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ este șir crescător.

(ii) Acum se va demonstra că $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ este descrescător:

${\frac {y_{n}}{y_{n+1}}}={\frac {n+1}{n+2}}\cdot \left[1+{\frac {1}{n(n+2)}}\right]^{n+1}>{\frac {n+1}{n+2}}\cdot {\frac {n^{2}+3n+1}{n(n+2)}}=$

$={\frac {n(n+2)^{2}+1}{n(n+2)^{2}}}>1,\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*},$

unde din nou s-a utilizat inegalitatea lui Bernoulli.

(iii) Deoarece $\mathbf {e} _{n}<y_{n},\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*},$ rezultă șirul de inegalități:

$\mathbf {e} _{1}<\mathbf {e} _{2}<\cdots <\mathbf {e} _{n}<y_{n}<\cdots <y_{2}<y_{1}.$

Deci cele două șiruri sunt monotone și mărginite și, conform teoremei lui Weierstrass, sunt convergente.

În continuare, din inegalitățile:

$0<y_{n}-\mathbf {e} _{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}-\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{n}}\cdot \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=$

$={\frac {1}{n}}\mathbf {e} _{n}\leq {\frac {y_{n}}{n}}<{\frac {y_{1}}{n}}.$

Dar $\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{1}}{n}}=0$ și rezultă că:

$\lim _{n\to \infty }\mathbf {e} _{n}=\lim _{n\to \infty }y_{n}.$

Această limită este notată cu $\mathbf {e} ,$ după inițiala lui Leonhard Euler și are valoarea aproximativă:

$\mathbf {e} \approx 2,718281828459\cdots .$

Proprietăți ale lui e

${\text{Teoremă.}}$ Șirul $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}},$ cu:

$a_{n}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+\cdots +{\frac {1}{n!}},$

este convergent și are limita $\mathbf {e} .$

Teorema Töplitz

Teoremă. Fie o matrice infinită de numere reale $A=(a_{mn})_{(m,n)\in \mathbb {N} ^{*}\times \mathbb {N} ^{*}}$ cu proprietatea că există $M\in \mathbb {R} _{+}^{*},$ astfel încât:

$|a_{k1}|+|a_{k2}|+\cdots +|a_{km}|+\cdots \leq M,\;\forall k\in N^{*}.$

Următoarele afirmații sunt echivalente:

1) pentru orice șir convergent de numere reale $(x_{n})_{n}$ șirul $(y_{n})_{n}$ definit prin $y_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{nk}\cdot x_{k}$ este convergent și $\lim _{n\to \infty }y_{n}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

2) (i) $\lim _{n\to \infty }a_{nm}=0,\;\forall m\in \mathbb {N} ^{*};$

(ii) $\lim _{n\to \infty }(a_{n1}+a_{n2}+\cdots +a_{nm}+\cdots )=1.$