Analiză matematică/Șiruri numerice

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Jump to navigation Jump to search

În cele ce urmează, se vor considera șirurile de numere reale, cele multidimensionale urmând a fi studiate în capitolele care urmează.

Definiții[modificare]

Un șir de numere reale este o aplicație și se utilizează notația

Un șir se numește monoton dacă satisface una din proprietățile:

  • (șir crescător);
  • (șir descrescător).

Un șir se numește mărginit dacă există un astfel încât

Un șir real se numește convergent dacă există un numit limita șirului, cu proprietatea:

astfel încât

În acest caz, se notează:

Criterii de convergență[modificare]

Criteriul Cauchy[modificare]

Definiție. Un șir de numere reale se numește șir fundamental sau șir Cauchy dacă pentru orice există un astfel încât dacă atunci

Observație. În definiția convergenței unui șir apare în mod explicit limita șirului, pe când în definiția unui șir fundamental intervin numai termeni ai șirului, deci aceasta din urmă este o definiție intrinsecă, motiv pentru care teorema următoare este extrem de importantă:

 Cauchy) Un șir de numere reale este convergent dacă și numai dacă este un șir fundamental.

Observație. Criteriul  Cauchy nu este valabil în mulțimea De exemplu șirul are termenii raționali, dar limita acestuia este un număr irațional, cum se va demonstra ulterior. Din acest motiv se spune că mulțimea este în raport cu distanța euclidiană un spațiu metric complet.

Criteriul raportului

Dacă șirul are termenii pozitivi, atunci:

dacă ultima limită există.

Criteriul majorării

Dacă   și   atunci

Criteriul radicalului

Dacă șirul este convergent și are termenii pozitivi, atunci:

Numărul e[modificare]

Șirurile:

sunt convergente și au aceeași limită.

Demonstrație.

(i) Se va demonstra mai întâi că șirul (de termeni strict pozitivi) este crescător:

Dar, conform inegalității lui Bernoulli, Rezultă că:

și aceasta pentru orice

De aici rezultă că este șir crescător.

(ii) Acum se va demonstra că este descrescător:

unde din nou s-a utilizat inegalitatea lui Bernoulli.

(iii) Deoarece rezultă șirul de inegalități:

Deci cele două șiruri sunt monotone și mărginite și, conform teoremei lui Weierstrass, sunt convergente.

În continuare, din inegalitățile:

Dar și rezultă că:

Această limită este notată cu după inițiala lui Leonhard Euler și are valoarea aproximativă:

Proprietăți ale lui e[modificare]

Șirul cu:

este convergent și are limita

Teorema Töplitz[modificare]

Teoremă. Fie o matrice infinită de numere reale cu proprietatea că există astfel încât:

Următoarele afirmații sunt echivalente:

1) pentru orice șir convergent de numere reale șirul definit prin este convergent și
2) (i)
(ii)