Analiză matematică/Definiția integralei curbilinii

Integrala curbilinie de speţa întâi

Se reaminteşte că integrala Riemann a unei funcţii definite pe un interval a fost definită cu ajutorul unui procedeu de aproximare. Mai precis, dat fiind intervalul de integrare $[a,b]$, s-au construit diviziuni ale acestuia, în fiecare subinterval astfel determinat alegându-se câte un punct intermediar. Pe baza acestor elemente, s-au construit sume Riemann în care fiecare subinterval contribuia cu valoarea funcţiei, înmulţită cu lungimea subintervalului.

Definiţie. Se va utiliza un procedeu asemănător pentru a se defini noţiunea de integrală curbilinie de speţa I.

Fie

$({\mathcal {C}}){\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t),\;t\in [a,b],\\z=z(t)\end{cases}}$

o curbă netedă în spaţiu şi $F:{\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ astfel încât $({\mathcal {C}})\subset {\mathcal {D}}.$ Fie de asemenea:

$\Delta =\{t_{0},t_{1},\cdots ,t_{n}\},$ cu $a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b$

o diviziune a intervalului $[a,b],$ care determină pe $({\mathcal {C}})$ punctele:

$A_{0}(t_{0}),A_{1}(t_{1}),\cdots ,A_{n}(t_{n}).$

Aceste puncte determină o linie poligonală a cărei lungime este:

$l_{\Delta }=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {[x(t_{i})-x(t_{i-1})]^{2}+[y(t_{i})-y(t_{i-1})]^{2}+[z(t_{i})-z(t_{i-1})]^{2}}}.$

Definiţie. Curba $({\mathcal {C}})$ este rectificabilă dacă mulţimea $\{l_{\Delta }\;|\;\Delta$ este o diviziune a lui $[a,b]\}$ este majorată. Marginea superioară a acestei mulţimi se numeşte lungimea curbei $({\mathcal {C}})$ şi se notează $l_{\mathcal {C}}.$

Teoremă. Dacă

$({\mathcal {C}}){\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t),\;t\in [a,b],\\z=z(t)\end{cases}}$

este o curbă netedă în spaţiu, atunci aceasta este rectificabilă şi:

$l_{\mathcal {C}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}+[z'(t)]^{2}}}.$