Analiză matematică/Definiția integralei curbilinii

Integrala curbilinie de speţa întâi

Se reaminteşte că integrala Riemann a unei funcţii definite pe un interval a fost definită cu ajutorul unui procedeu de aproximare. Mai precis, dat fiind intervalul de integrare $[a, b]$ , s-au construit diviziuni ale acestuia, în fiecare subinterval astfel determinat alegându-se câte un punct intermediar. Pe baza acestor elemente, s-au construit sume Riemann în care fiecare subinterval contribuia cu valoarea funcţiei, înmulţită cu lungimea subintervalului.

Definiţie. Se va utiliza un procedeu asemănător pentru a se defini noţiunea de integrală curbilinie de speţa I.

Fie

(𝒞) {\begin{matrix} x = x (t) \\ y = y (t), t \in [a, b], \\ z = z (t) \end{matrix}

o curbă netedă în spaţiu şi $F : 𝒟 \subset ℝ^{3} \to ℝ$ astfel încât $(𝒞) \subset 𝒟 .$ Fie de asemenea:

Δ = {t_{0}, t_{1}, \dots, t_{n}},

a = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = b

o diviziune a intervalului $[a, b],$ care determină pe $(𝒞)$ punctele:

A_{0} (t_{0}), A_{1} (t_{1}), \dots, A_{n} (t_{n}) .

Aceste puncte determină o linie poligonală a cărei lungime este:

l_{Δ} = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{[x (t_{i}) - x (t_{i - 1})]^{2} + [y (t_{i}) - y (t_{i - 1})]^{2} + [z (t_{i}) - z (t_{i - 1})]^{2}} .

Definiţie. Curba $(𝒞)$ este rectificabilă dacă mulţimea ${l_{Δ} | Δ$ este o diviziune a lui $[a, b]}$ este majorată. Marginea superioară a acestei mulţimi se numeşte lungimea curbei $(𝒞)$ şi se notează $l_{𝒞} .$

Teoremă. Dacă

(𝒞) {\begin{matrix} x = x (t) \\ y = y (t), t \in [a, b], \\ z = z (t) \end{matrix}

este o curbă netedă în spaţiu, atunci aceasta este rectificabilă şi:

l_{𝒞} = \int_{a}^{b} \sqrt{[x^{'} (t)]^{2} + [y^{'} (t)]^{2} + [z^{'} (t)]^{2}} .

v • d • m

Analiză matematică

I. Noţiuni introductive

1. Mulțimi, numere, structuri

Mulțimi (Ex.) ♦ Relație binară (Ex.) ♦ Structuri algebrice (Ex.) ♦ Numere reale (Ex.) ♦ Numere complexe (Ex.) ♦ Analiză combinatorie (Ex.)

2. Sisteme de ecuații liniare

Determinanți (Ex.) ♦ Matrice (Ex.) ♦ Regula lui Cramer (Ex.) ♦ Teorema lui Rouché (Ex.)

3. Funcții elementare

Polinomul (Ex.) ♦ Funcția exponențială și logaritmică (Ex.) ♦ Funcții trigonometrice (Ex.) ♦ Funcții hiperbolice (Ex.)

II. Calculul
diferențial

1. Șiruri și serii

Topologie pe R (Ex.) ♦ Șiruri numerice (Ex.) ♦ Serii de numere (Ex.)

2. Funcții: limite și continuitate

Definiția funcției (Ex.) ♦ Limita unei funcții (Ex.) ♦ Funcții continue (Ex.)

3. Derivate și diferențiale

Derivata: definiție, proprietăți (Ex.) ♦ Diferențiala: definiție, proprietăți (Ex.) ♦ Proprietăți ale funcțiilor derivabile (Ex.) ♦ Regula lui l'Hospital (Ex.) ♦ Graficul unei funcții (Ex.) ♦ Formula lui Taylor (Ex.) ♦ Aproximarea rădăcinilor unei ecuații (Ex.) ♦ Aplicații ale derivatelor în geometrie (Ex.)

4. Șiruri și serii de funcții

Șiruri de funcții (Ex.) ♦ Serii de funcții (Ex.) ♦ Seria Taylor (Ex.) ♦ Serii de puteri (Ex.)

5. Funcții de mai multe variabile

Spațiul n_dimensional (Ex.) ♦ Șiruri în spațiul n_dimensional (Ex.) ♦ Funcții definite în spațiul n_dimensional (Ex.) ♦ Derivate parțiale (Ex.) ♦ Formula lui Taylor pentru funcții cu mai multe variabile (Ex.) ♦ Puncte de extrem pentru funcții cu mai multe variabile (Ex.)

6. Funcții implicite

Funcții implicite de una sau mai multe variabile (Ex.) ♦ Sisteme de funcții implicite (Ex.) ♦ Dependența funcțională (Ex.) ♦ Puncte extreme pentru funcții implicite (Ex.) ♦ Transformări punctuale (Ex.) ♦

7. Schimbări de variabile

Schimbarea variabilelor independente (Ex.) ♦ Schimbări de variabile și de funcții (Ex.)

III. Calculul
integral

1. Integrale definite și nedefinite

Teoria măsurii (Ex.) ♦ Integrala definită (Ex.) ♦ Integrala nedefinită (Ex.) ♦ Metode de integrare (Ex.) ♦ Integrarea funcțiilor raționale (Ex.) ♦ Integrale cu parametru (Ex.) ♦ Integrarea seriilor de funcții (Ex.) ♦ Metode aproximative de integrare (Ex.) ♦ Aplicații ale integralelor (Ex.)

2. Extinderea noțiunii de integrală definită

Integrale cu limitele de integrare infinite (Ex.) ♦ Integrale definite de funcții nemărginite (Ex.) ♦ Integrale uniform convergente (Ex.)

3. Integrale curbilinii

Definiția integralei curbilinii (Ex.) ♦ Aplicații ale integralei curbilinii (Ex.)

4. Integrale duble și de suprafață

Integrale duble (Ex.) ♦ Integrale de suprafață (Ex.) ♦ Aplicații ale integralelor duble și de suprafață (Ex.)

5. Integrale triple

Definiție și proprietăți ale integralei triple (Ex.) ♦ Aplicații ale integralei triple (Ex.)

IV. Ecuații diferențiale

1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi

2. Ecuații diferențiale de ordin superior

3. Sisteme de ecuații diferențiale

4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi

Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv.