Analiză matematică/Definiția integralei curbilinii

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Jump to navigation Jump to search

Integrala curbilinie de speţa întâi[modificare]

Se reaminteşte că integrala Riemann a unei funcţii definite pe un interval a fost definită cu ajutorul unui procedeu de aproximare. Mai precis, dat fiind intervalul de integrare , s-au construit diviziuni ale acestuia, în fiecare subinterval astfel determinat alegându-se câte un punct intermediar. Pe baza acestor elemente, s-au construit sume Riemann în care fiecare subinterval contribuia cu valoarea funcţiei, înmulţită cu lungimea subintervalului.

Definiţie. Se va utiliza un procedeu asemănător pentru a se defini noţiunea de integrală curbilinie de speţa I.

Fie

o curbă netedă în spaţiu şi astfel încât Fie de asemenea:

cu

o diviziune a intervalului care determină pe punctele:

Aceste puncte determină o linie poligonală a cărei lungime este:

Definiţie. Curba este rectificabilă dacă mulţimea este o diviziune a lui este majorată. Marginea superioară a acestei mulţimi se numeşte lungimea curbei şi se notează

Teoremă. Dacă

este o curbă netedă în spaţiu, atunci aceasta este rectificabilă şi: