În cele ce urmează se vor studia, pe mulțimea numerelor reale
concepte ca vecinătate, convergență și limită, noțiuni specifice unui spațiu topologic.
Ilustrarea vecinătăţii

a punctului

Fie
un punct situat pe dreapta reală.
Se va numi vecinătate a lui
orice mulțime
care conține un interval deschis
care conține pe
deci
Vecinătățile lui
posedă următoarele proprietăți:
1) Orice mulțime
care conține pe
este tot o vecinătate a lui
deoarece
2) Intersecția a două vecinătăți ale lui
este tot o vecinătate a lui
3) Oricare ar fi punctele
de pe dreapta reală, există o vecinătate
a lui
și o vecinătate
a lui
fără puncte comune:
Dacă
există un număr
astfel încât
vecinătățile
îndeplinesc condiția cerută, deoarece
În cazul mulțimii numerelor reale, se folosesc de obicei pentru vecinătăți vecinătățile simetrice:
sau 
Mulțimi închise, mulțimi deschise[modificare]
Un punct
este interior unei mulțimi
dacă există o vecinătate
a lui
conținută în
deci:

Un punct
este exterior unei mulțimi
dacă există o vecinătate a lui
ale cărei puncte aparțin lui
Un punct
este punct frontieră al unei mulțimi
dacă orice vecinătate a lui
conține puncte ale lui
și ale lui
Exemplu:
Pentru intervalul închis
punctul
este interior,
este punct frontieră, iar
este punct exterior.
O mulțime care are toate elementele sale puncte interioare se numește mulțime deschisă.
Exemplu:
Mulțimile:
unde
sunt mulțimi deschise.
Teoremă.
O mulțime mărginită și infinită are cel puțin un punct de acumulare.
Demonstrație.
Fie
o mulțime mărginită și infinită de puncte.
Fiind mărginită, rezultă că toate punctele sale aparțin unui segment
cu
numere raționale.
Se divide segmentul
în două părți egale cu ajutorul punctului
Deoarece mulțimea
este infinită, cel puțin unul din segmentele
conține o infinitate de puncte din
Se notează acest segment cu
Numerele
sunt raționale și
ș.a.m.d.
Să presupunem că am găsit două numere raționale
astfel încât segmentul
conține o infinitate de puncte din
Să notăm acea parte cu
Numerele
sunt raționale și:

Obținem astfel prin inducție completă șirul de intervale:
![{\displaystyle [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \cdots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa5918c2efcad7d60bfec929aca11d6b8af628c)
unde șirurile de numere:


au următoarele proprietăți:
- 1)

- 2)

- 3)
pentru orice 
- 4) Segmentul
conține o infinitate de puncte ale mulțimii 
Mulțimea lui Cantor[modificare]
Se consideră un șir de intervale:
definit astfel:
Se ia
Se elimină din
intervalul din mijloc,
deci:
![{\displaystyle I_{1}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03e2ea231dda44e7bfe6b66307bbdfb780b1c04)
Se continuă procedeul: din fiecare din intervalele
se elimină intervalul din mijloc:
![{\displaystyle I_{2}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {3}{9}}\right]\cup \left[{\frac {6}{9}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd5632db50b1b6d1b7aa16f68a8a8c7598fc19d9)
Șirul de intervale
are proprietățile:

este reuniunea a
intervale, fiecare de lungime 
Se definește mulțimea lui Cantor ca fiind
Teoremă.
Mulțimea lui Cantor
posedă proprietățile:
a)
este mulțime compactă.
b) Mulțimea
nu conține intervale.
c) Mulțimea lui Cantor este perfectă (nu conține puncte izolate); în particular, rezultă că
nu este mulțime numărabilă.
Demonstrație.
a)
Mulțimea
este mărginită (inclusă în
) și închisă (intersecție de mulțimi închise).
b)
Din contrucție, rezultă:

Dar orice interval
conține un interval de forma
dacă
este ales cu condiția
Rezultă că
nu conține intervale.
c)
Fie
și fie
un interval arbitrar care îl conține pe
pentru orice
fie
acel interval al lui
care îl conține pe
Se alege un
suficient de mare astfel încât
Dacă se notează cu
acel capăt al intervalului
diferit de
rezultă
|
---|
| I. Noţiuni introductive | 1. Mulțimi, numere, structuri | | | 2. Sisteme de ecuații liniare | | | 3. Funcții elementare | |
| | II. Calculul diferențial | 1. Șiruri și serii | | | 2. Funcții: limite și continuitate | | | 3. Derivate și diferențiale | | | 4. Șiruri și serii de funcții | | | 5. Funcții de mai multe variabile | | | 6. Funcții implicite | | | 7. Schimbări de variabile | |
| | III. Calculul integral | 1. Integrale definite și nedefinite | | | 2. Extinderea noțiunii de integrală definită | | | 3. Integrale curbilinii | | | 4. Integrale duble și de suprafață | | | 5. Integrale triple | |
| | IV. Ecuații
diferențiale | 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi | | | 2. Ecuații diferențiale de ordin superior | | | 3. Sisteme de ecuații diferențiale | | | 4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi | |
| | Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv. |
|