În cele ce urmează se vor studia, pe mulțimea numerelor reale
R
,
{\displaystyle \mathbb {R} ,}
vecinătate , convergență și limită , noțiuni specifice unui spațiu topologic
Ilustrarea vecinătăţii
(
a
−
ε
,
a
+
ε
)
{\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}
a
{\displaystyle a}
Fie
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
vecinătate a lui
x
0
{\displaystyle x_{0}}
V
{\displaystyle V}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
x
0
,
{\displaystyle x_{0},}
x
0
∈
(
a
,
b
)
⊂
V
.
{\displaystyle x_{0}\in (a,b)\subset V.}
Vecinătățile lui
x
0
{\displaystyle x_{0}}
1) Orice mulțime
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
x
0
,
{\displaystyle x_{0},}
U
⊃
V
⊃
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle U\supset V\supset (a,b).}
2) Intersecția a două vecinătăți ale lui
x
0
{\displaystyle x_{0}}
x
0
.
{\displaystyle x_{0}.}
3) Oricare ar fi punctele
x
≠
y
{\displaystyle x\neq y}
V
{\displaystyle V}
x
{\displaystyle x}
W
{\displaystyle W}
y
{\displaystyle y}
V
∩
W
=
∅
.
{\displaystyle V\cap W=\emptyset .}
Dacă
x
<
y
,
{\displaystyle x<y,}
c
{\displaystyle c}
x
<
c
<
y
;
{\displaystyle x<c<y;}
V
=
(
a
,
c
)
,
W
=
(
c
,
b
)
,
a
<
x
,
y
<
b
{\displaystyle V=(a,c),\;W=(c,b),\;a<x,\;y<b}
(
a
,
c
)
∩
(
c
,
b
)
=
∅
.
{\displaystyle (a,c)\cap (c,b)=\emptyset .}
În cazul mulțimii numerelor reale, se folosesc de obicei pentru vecinătăți vecinătățile simetrice :
|
x
−
x
0
|
<
ε
{\displaystyle |x-x_{0}|<\varepsilon }
(
x
0
−
ε
,
x
0
+
ε
)
,
ε
>
0.
{\displaystyle (x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon ),\quad \varepsilon >0.}
Un punct
x
0
{\displaystyle x_{0}}
interior unei mulțimi
A
{\displaystyle A}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A
,
{\displaystyle A,}
x
0
∈
(
a
,
b
)
⊆
A
.
{\displaystyle x_{0}\in (a,b)\subseteq A.}
Un punct
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A
{\displaystyle A}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
C
A
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}A.}
Un punct
x
0
{\displaystyle x_{0}}
punct frontieră al unei mulțimi
A
{\displaystyle A}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A
{\displaystyle A}
C
A
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}A.}
Exemplu :
Pentru intervalul închis
[
1
,
3
]
,
{\displaystyle [1,3],}
x
1
=
2
{\displaystyle x_{1}=2}
x
2
=
3
{\displaystyle x_{2}=3}
x
3
=
4
{\displaystyle x_{3}=4}
O mulțime care are toate elementele sale puncte interioare se numește mulțime deschisă .
Exemplu :
Mulțimile:
(
a
,
b
)
,
(
a
,
b
)
∪
(
c
,
d
)
,
R
(
{\displaystyle (a,b),\;(a,b)\cup (c,d),\;\mathbb {R} \;(}
a
,
b
,
c
,
d
∈
R
,
a
<
b
<
c
<
d
)
{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} ,a<b<c<d)}
Teoremă .
O mulțime mărginită și infinită are cel puțin un punct de acumulare.
Demonstrație .
Fie
A
{\displaystyle A}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
c
.
{\displaystyle c.}
A
{\displaystyle A}
[
a
,
c
]
,
[
c
,
b
]
{\displaystyle [a,c],\;[c,b]}
A
.
{\displaystyle A.}
[
a
1
,
b
1
]
.
{\displaystyle [a_{1},b_{1}].}
a
1
,
b
1
{\displaystyle a_{1},b_{1}}
b
1
−
a
1
=
b
−
a
2
{\displaystyle b_{1}-a_{1}={\frac {b-a}{2}}}
Să presupunem că am găsit două numere raționale
a
n
,
b
n
{\displaystyle a_{n},b_{n}}
[
a
n
,
b
n
]
{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}
A
.
{\displaystyle A.}
[
a
n
+
1
,
b
n
+
1
]
.
{\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}].}
a
n
+
1
,
b
n
+
1
{\displaystyle a_{n+1},b_{n+1}}
a
n
≤
a
n
+
1
<
b
n
+
1
≤
b
n
,
b
n
+
1
−
a
n
+
1
=
b
−
a
2
n
+
1
.
{\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}<b_{n+1}\leq b_{n},\qquad b_{n+1}-a_{n+1}={\frac {b-a}{2^{n+1}}}.}
Obținem astfel prin inducție completă șirul de intervale:
[
a
1
,
b
1
]
⊃
[
a
2
,
b
2
]
⊃
⋯
⊃
[
a
n
,
b
n
]
⊃
⋯
,
{\displaystyle [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \cdots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \cdots ,}
unde șirurile de numere:
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
,
⋯
{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots }
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
,
⋯
{\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n},\cdots }
au următoarele proprietăți:
1)
a
1
≤
a
2
≤
a
3
≤
⋯
≤
a
n
≤
⋯
{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots \leq a_{n}\leq \cdots }
2)
b
1
≥
b
2
≥
b
3
≥
⋯
≥
b
n
≥
⋯
{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}\geq \cdots \geq b_{n}\geq \cdots }
3)
b
n
−
a
n
=
b
−
a
2
n
{\displaystyle b_{n}-a_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}}
n
∈
N
,
b
p
>
a
q
,
p
,
q
∈
N
;
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\;b_{p}>a_{q},\;p,q\in \mathbb {N} ;}
4) Segmentul
[
a
n
,
b
n
]
{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}
A
.
{\displaystyle A.}
Primii cinci paşi în construcţia mulțimii lui Cantor Se consideră un șir de intervale:
I
0
,
I
1
,
I
2
,
⋯
,
I
n
,
⋯
,
{\displaystyle I_{0},I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n},\cdots ,}
Se ia
I
0
=
[
0
,
1
]
.
{\displaystyle I_{0}=[0,1].}
I
0
{\displaystyle I_{0}}
(
1
3
,
2
3
)
,
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),}
I
1
=
[
0
,
1
9
]
∪
[
2
3
,
1
]
.
{\displaystyle I_{1}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right].}
Se continuă procedeul: din fiecare din intervalele
[
0
,
1
3
]
,
[
2
3
,
1
]
{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right],\;\left[{\frac {2}{3}},1\right]}
I
2
=
[
0
,
1
9
]
∪
[
2
9
,
3
9
]
∪
[
6
9
,
7
9
]
∪
[
8
9
,
1
]
.
{\displaystyle I_{2}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {3}{9}}\right]\cup \left[{\frac {6}{9}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right].}
Șirul de intervale
I
0
,
I
1
,
I
2
,
⋯
{\displaystyle I_{0},I_{1},I_{2},\cdots }
I
0
⊃
I
1
⊃
I
2
⊃
⋯
{\displaystyle I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \cdots }
I
n
{\displaystyle I_{n}}
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
3
−
n
.
{\displaystyle 3^{-n}.}
Se definește mulțimea lui Cantor ca fiind
C
=
⋂
n
∈
N
I
n
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}.}
Teoremă.
Mulțimea lui Cantor
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
a)
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
b) Mulțimea
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
c) Mulțimea lui Cantor este perfectă (nu conține puncte izolate ); în particular, rezultă că
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
Demonstrație.
a)
Mulțimea
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
b)
Din contrucție, rezultă:
C
∩
(
3
k
+
1
3
m
,
3
k
+
2
3
m
)
=
∅
,
∀
k
,
m
∈
N
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}\cap \left({\frac {3k+1}{3^{m}}},{\frac {3k+2}{3^{m}}}\right)=\emptyset ,\;\forall k,m\in \mathbb {N} .}
Dar orice interval
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
(
3
k
+
1
3
m
,
3
k
+
2
3
m
)
{\displaystyle \left({\frac {3k+1}{3^{m}}},{\frac {3k+2}{3^{m}}}\right)}
m
{\displaystyle m}
3
−
m
<
β
−
α
6
.
{\displaystyle 3^{-m}<{\frac {\beta -\alpha }{6}}.}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
c)
Fie
a
∈
C
{\displaystyle a\in {\mathcal {C}}}
S
{\displaystyle S}
a
;
{\displaystyle a;}
n
∈
N
,
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}
J
n
{\displaystyle J_{n}}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
a
.
{\displaystyle a.}
n
0
{\displaystyle n_{0}}
J
n
0
⊆
S
.
{\displaystyle J_{n0}\subseteq S.}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
J
n
{\displaystyle J_{n}}
a
,
{\displaystyle a,}
x
n
∈
C
∩
S
,
x
n
≠
a
,
∀
n
≥
n
0
.
{\displaystyle x_{n}\in {\mathcal {C}}\cap S,\;x_{n}\neq a,\;\forall n\geq n_{0}.}
I. Noţiuni introductive
1. Mulțimi, numere, structuri
2. Sisteme de ecuații liniare
3. Funcții elementare
II. Calculul
1. Șiruri și serii
2. Funcții: limite și continuitate
3. Derivate și diferențiale
4. Șiruri și serii de funcții
5. Funcții de mai multe variabile
6. Funcții implicite
7. Schimbări de variabile
III. Calculul
1. Integrale definite și nedefinite
2. Extinderea noțiunii de integrală definită
3. Integrale curbilinii
4. Integrale duble și de suprafață
5. Integrale triple
IV. Ecuații
diferențiale
1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi
2. Ecuații diferențiale de ordin superior
3. Sisteme de ecuații diferențiale
4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi
Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv.
![{\displaystyle [1,3],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e329a3ff26f4b3ada1dd30d39ddb3b9143b5af8)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [a,c],\;[c,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2b0beb772d2f971869145704a42ab2965b8b0a)
![{\displaystyle [a_{1},b_{1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f663635d41f1418ec7ff5683289623c94510e5)
![{\displaystyle [a_{n},b_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30ce1f218c7164247ad32fbbcde76c02c817bd1)
![{\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/266bcd244d2a527ecabf233dc8e8f8f5baae8ef4)
![{\displaystyle [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \cdots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa5918c2efcad7d60bfec929aca11d6b8af628c)
![{\displaystyle I_{0}=[0,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455fd2aca1cc679a14a1a0280f2c70a137d0afbe)
![{\displaystyle I_{1}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03e2ea231dda44e7bfe6b66307bbdfb780b1c04)
![{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right],\;\left[{\frac {2}{3}},1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877d0062f16c2e55297b34ecef1617294f26cd3c)
![{\displaystyle I_{2}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {3}{9}}\right]\cup \left[{\frac {6}{9}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd5632db50b1b6d1b7aa16f68a8a8c7598fc19d9)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
