Analiză matematică/Topologie pe R

În cele ce urmează se vor studia, pe mulțimea numerelor reale $\mathbb {R} ,$ concepte ca vecinătate, convergență și limită, noțiuni specifice unui spațiu topologic.

Vecinătăți

Ilustrarea vecinătăţii $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ a punctului $a$

Fie $x_{0}\in \mathbb {R}$ un punct situat pe dreapta reală. Se va numi vecinătate a lui $x_{0}$ orice mulțime $V$ care conține un interval deschis $(a,b)$ care conține pe $x_{0},$ deci $x_{0}\in (a,b)\subset V.$

Vecinătățile lui $x_{0}$ posedă următoarele proprietăți:

1) Orice mulțime $U$ care conține pe $V$ este tot o vecinătate a lui $x_{0},$ deoarece   $U\supset V\supset (a,b).$

2) Intersecția a două vecinătăți ale lui $x_{0}$ este tot o vecinătate a lui $x_{0}.$

3) Oricare ar fi punctele $x\neq y$ de pe dreapta reală, există o vecinătate $V$ a lui $x$ și o vecinătate $W$ a lui $y$ fără puncte comune: $V\cap W=\emptyset .$

Dacă $x<y,$ există un număr $c$ astfel încât $x<c<y;$ vecinătățile $V=(a,c),\;W=(c,b),\;a<x,\;y<b$ îndeplinesc condiția cerută, deoarece $(a,c)\cap (c,b)=\emptyset .$

În cazul mulțimii numerelor reale, se folosesc de obicei pentru vecinătăți vecinătățile simetrice:

$|x-x_{0}|<\varepsilon$ sau $(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon ),\quad \varepsilon >0.$

Mulțimi închise, mulțimi deschise

Un punct $x_{0}$ este interior unei mulțimi $A$ dacă există o vecinătate $(a,b)$ a lui $x_{0}$ conținută în $A,$ deci:

$x_{0}\in (a,b)\subseteq A.$

Un punct $x_{0}$ este exterior unei mulțimi $A$ dacă există o vecinătate a lui $x_{0}$ ale cărei puncte aparțin lui ${\mathcal {C}}A.$

Un punct $x_{0}$ este punct frontieră al unei mulțimi $A$ dacă orice vecinătate a lui $x_{0}$ conține puncte ale lui $A$ și ale lui ${\mathcal {C}}A.$

Exemplu: Pentru intervalul închis $[1,3],$ punctul $x_{1}=2$ este interior, $x_{2}=3$ este punct frontieră, iar $x_{3}=4$ este punct exterior.

O mulțime care are toate elementele sale puncte interioare se numește mulțime deschisă.

Exemplu: Mulțimile: $(a,b),\;(a,b)\cup (c,d),\;\mathbb {R} \;($ unde $a,b,c,d\in \mathbb {R} ,a<b<c<d)$ sunt mulțimi deschise.

Teorema lui Weierstrass-Bolzano

Teoremă. O mulțime mărginită și infinită are cel puțin un punct de acumulare.

Demonstrație. Fie $A$ o mulțime mărginită și infinită de puncte. Fiind mărginită, rezultă că toate punctele sale aparțin unui segment $[a,b]$ cu $a,b$ numere raționale. Se divide segmentul $[a,b]$ în două părți egale cu ajutorul punctului $c.$ Deoarece mulțimea $A$ este infinită, cel puțin unul din segmentele $[a,c],\;[c,b]$ conține o infinitate de puncte din $A.$ Se notează acest segment cu $[a_{1},b_{1}].$ Numerele $a_{1},b_{1}$ sunt raționale și $b_{1}-a_{1}={\frac {b-a}{2}}$ ș.a.m.d.

Să presupunem că am găsit două numere raționale $a_{n},b_{n}$ astfel încât segmentul $[a_{n},b_{n}]$ conține o infinitate de puncte din $A.$ Să notăm acea parte cu $[a_{n+1},b_{n+1}].$ Numerele $a_{n+1},b_{n+1}$ sunt raționale și:

$a_{n}\leq a_{n+1}<b_{n+1}\leq b_{n},\qquad b_{n+1}-a_{n+1}={\frac {b-a}{2^{n+1}}}.$

Obținem astfel prin inducție completă șirul de intervale:

$[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \cdots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \cdots ,$

unde șirurile de numere:

$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots$

$b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n},\cdots$

au următoarele proprietăți:

1) $a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots \leq a_{n}\leq \cdots$

2) $b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}\geq \cdots \geq b_{n}\geq \cdots$

3) $b_{n}-a_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}$ pentru orice $n\in \mathbb {N} ,\;b_{p}>a_{q},\;p,q\in \mathbb {N} ;$

4) Segmentul $[a_{n},b_{n}]$ conține o infinitate de puncte ale mulțimii $A.$

Mulțimea lui Cantor

Primii cinci paşi în construcţia mulțimii lui Cantor

Se consideră un șir de intervale: $I_{0},I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n},\cdots ,$ definit astfel:

Se ia $I_{0}=[0,1].$ Se elimină din $I_{0}$ intervalul din mijloc, $\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),$ deci:

$I_{1}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right].$

Se continuă procedeul: din fiecare din intervalele $\left[0,{\frac {1}{3}}\right],\;\left[{\frac {2}{3}},1\right]$ se elimină intervalul din mijloc:

$I_{2}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {3}{9}}\right]\cup \left[{\frac {6}{9}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right].$

Șirul de intervale $I_{0},I_{1},I_{2},\cdots$ are proprietățile:

1. $I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \cdots$
2. $I_{n}$ este reuniunea a $2^{n}$ intervale, fiecare de lungime $3^{-n}.$

Se definește mulțimea lui Cantor ca fiind  ${\mathcal {C}}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}.$

Teoremă. Mulțimea lui Cantor ${\mathcal {C}}$ posedă proprietățile:

a) ${\mathcal {C}}$ este mulțime compactă.

b) Mulțimea ${\mathcal {C}}$ nu conține intervale.

c) Mulțimea lui Cantor este perfectă (nu conține puncte izolate); în particular, rezultă că ${\mathcal {C}}$ nu este mulțime numărabilă.

Demonstrație.

a) Mulțimea ${\mathcal {C}}$ este mărginită (inclusă în $[0,1]$) și închisă (intersecție de mulțimi închise).

b) Din contrucție, rezultă:

${\mathcal {C}}\cap \left({\frac {3k+1}{3^{m}}},{\frac {3k+2}{3^{m}}}\right)=\emptyset ,\;\forall k,m\in \mathbb {N} .$

Dar orice interval $(\alpha ,\beta )$ conține un interval de forma $\left({\frac {3k+1}{3^{m}}},{\frac {3k+2}{3^{m}}}\right)$ dacă $m$ este ales cu condiția $3^{-m}<{\frac {\beta -\alpha }{6}}.$ Rezultă că ${\mathcal {C}}$ nu conține intervale.

c) Fie $a\in {\mathcal {C}}$ și fie $S$ un interval arbitrar care îl conține pe $a;$ pentru orice $n\in \mathbb {N} ,$ fie $J_{n}$ acel interval al lui $I_{n}$ care îl conține pe $a.$ Se alege un $n_{0}$ suficient de mare astfel încât $J_{n0}\subseteq S.$ Dacă se notează cu $x_{n}$ acel capăt al intervalului $J_{n}$ diferit de $a,$ rezultă $x_{n}\in {\mathcal {C}}\cap S,\;x_{n}\neq a,\;\forall n\geq n_{0}.$