Analiză matematică/Topologie pe R

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Salt la: navigare, căutare

În cele ce urmează se vor studia, pe mulțimea numerelor reale concepte ca vecinătate, convergență și limită, noțiuni specifice unui spațiu topologic.

Vecinătăți[modificare]

Ilustrarea vecinătăţii a punctului

Fie un punct situat pe dreapta reală. Se va numi vecinătate a lui orice mulțime care conține un interval deschis care conține pe deci

Vecinătățile lui posedă următoarele proprietăți:

1) Orice mulțime care conține pe este tot o vecinătate a lui deoarece  

2) Intersecția a două vecinătăți ale lui este tot o vecinătate a lui

3) Oricare ar fi punctele de pe dreapta reală, există o vecinătate a lui și o vecinătate a lui fără puncte comune:

Dacă există un număr astfel încât vecinătățile îndeplinesc condiția cerută, deoarece

În cazul mulțimii numerelor reale, se folosesc de obicei pentru vecinătăți vecinătățile simetrice:

sau

Mulțimi închise, mulțimi deschise[modificare]

Un punct este interior unei mulțimi dacă există o vecinătate a lui conținută în deci:

Un punct este exterior unei mulțimi dacă există o vecinătate a lui ale cărei puncte aparțin lui

Un punct este punct frontieră al unei mulțimi dacă orice vecinătate a lui conține puncte ale lui și ale lui

Exemplu: Pentru intervalul închis punctul este interior, este punct frontieră, iar este punct exterior.

O mulțime care are toate elementele sale puncte interioare se numește mulțime deschisă.

Exemplu: Mulțimile: unde sunt mulțimi deschise.

Teorema lui Weierstrass-Bolzano[modificare]

Teoremă. O mulțime mărginită și infinită are cel puțin un punct de acumulare.

Demonstrație. Fie o mulțime mărginită și infinită de puncte. Fiind mărginită, rezultă că toate punctele sale aparțin unui segment cu numere raționale. Se divide segmentul în două părți egale cu ajutorul punctului Deoarece mulțimea este infinită, cel puțin unul din segmentele conține o infinitate de puncte din Se notează acest segment cu Numerele sunt raționale și ș.a.m.d.

Să presupunem că am găsit două numere raționale astfel încât segmentul conține o infinitate de puncte din Să notăm acea parte cu Numerele sunt raționale și:

Obținem astfel prin inducție completă șirul de intervale:

unde șirurile de numere:

au următoarele proprietăți:

1)
2)
3) pentru orice
4) Segmentul conține o infinitate de puncte ale mulțimii

Mulțimea lui Cantor[modificare]

Primii cinci paşi în construcţia mulțimii lui Cantor

Se consideră un șir de intervale: definit astfel:

Se ia Se elimină din intervalul din mijloc, deci:

Se continuă procedeul: din fiecare din intervalele se elimină intervalul din mijloc:

Șirul de intervale are proprietățile:

  1. este reuniunea a intervale, fiecare de lungime

Se definește mulțimea lui Cantor ca fiind  

Teoremă. Mulțimea lui Cantor posedă proprietățile:

a) este mulțime compactă.

b) Mulțimea nu conține intervale.

c) Mulțimea lui Cantor este perfectă (nu conține puncte izolate); în particular, rezultă că nu este mulțime numărabilă.

Demonstrație.

a) Mulțimea este mărginită (inclusă în ) și închisă (intersecție de mulțimi închise).

b) Din contrucție, rezultă:

Dar orice interval conține un interval de forma dacă este ales cu condiția Rezultă că nu conține intervale.

c) Fie și fie un interval arbitrar care îl conține pe pentru orice fie acel interval al lui care îl conține pe Se alege un suficient de mare astfel încât Dacă se notează cu acel capăt al intervalului diferit de rezultă