Analiză matematică/Serii de numere/Exerciții

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Salt la: navigare, căutare

1. Dacă seria (unde este un șir real) este convergentă, atunci șirul este convergent. Să se dea un exemplu din care să rezulte că reciproca nu este adevărată.

R. Fie

Cum este convergentă, rezultă că este convergent, deci este șir Cauchy deci este convergent.

Contraexemplu: este convergent la zero, dar


2. Să se demonstreze că, dacă e convergentă cu șir monoton descrescător, atunci

R. Din convergentă rezultă convergent, deci este șir Cauchy adică:

astfel încât

Rezultă și deci, deoarece este descrescător,

Fie Rezultă

Deci:

Așadar pentru orice există un astfel încât să existe relația ceea ce este echivalent cu


3) Să se determine natura următoarelor serii definite de șirul :

a)

b)

c)

R. a) Seria este convergentă; se utilizează criteriul comparației:

b) Seria este convergentă, conform criteriului de comparație la limită:

c) Avem:

Se alege și se obține limita Conform criteriului de comparație la limită, seria este convergentă dacă și numai dacă


4. Să se arate că următoarele serii sunt divergente:

a)
b)
c)

R.

a) Considerăm șirul sumelor parțiale:
b)  
c)  

Conform criteriului suficient de divergență, seria este divergentă.


5. Să se verifice dacă următoarele serii sunt convergente, în care caz să se determine limita acestora:

a)       b)       c)

R.

a)  

Evident, Prin urmare, seria dată este convergentă și suma sa este:

b)   deci

Deci:

Deoarece rezultă:

c)  

Dar deci șirul sumelor parțiale este divergent, de unde rezultă că seria este divergentă.

Observație. Se observă că deci această condițiea este necesară, dar nu și suficientă pentru convergența unei serii.


6. Să se aproximeze sumele seriilor următoare cu o eroare mai mică de

a)     b)     c)  

R.

a) Dacă notăm atunci pentru orice

Atunci rezultă că pentru orice are loc

unde este suma seriei, iar este suma parțială de ordinul

Deci Pentru ca să aproximeze cu o eroare mai mică decât este suficient să determinăm cel mai mic rang care satisface inegalitatea

Se obține deci cu două zecimale exacte.

b) Deoarece pentru orice rezultă că:

Deci aproximează pe prin lipsă, iar prin adaos, ambele cu o eroare mai mică de

c) Dacă notăm atunci pentru orice de unde rezultă evaluarea:
adică

Cum rezultă că