Analiză matematică/Structuri algebrice/Exerciții

1. Fie $S$ un semigrup finit și $a\in S.$ Să se arate că există $m\in \mathbb {N} ^{*}$ astfel încât $a^{m}$ este idempotent.

R. În șirul $\{a,a^{2},\cdots ,a^{k},\cdots \}$ nu toate elementele sunt distincte deoarece $S$ este finit. Deci există $i,j\in \mathbb {N} ^{*}$ astfel încât $a^{i}=a^{i+j}.$ Fie $m\in \mathbb {N} ^{*},\;m>i+j.$ Atunci $a^{m}=a^{m-i}\cdot a^{i}=a^{m-i}\cdot a^{i+j}=a^{m+j}=a^{m+j-i}\cdot a^{i}=a^{m+2j}$ etc.

Deci pentru orice $k\in \mathbb {N} ^{*},\;a^{m}=a^{m+kj}.$ Fie $m>i+j,\;m=k\cdot j.$ Atunci $a^{m}=a^{2m},$ deci $a^{m}$ este idempotent.

---

2. Fie $\mathbb {Z} [i]=\{x+iy\;:\;i\in \mathbb {C} ,\;i^{2}=-1\}.$ Să se demonstreze că $(\mathbb {Z} [i],\cdot )$ este monoid comutativ. Să se determine $U(\mathbb {Z} [i],\cdot ).$

R. Se arată ușor că $(\mathbb {Z} [i],\cdot )$ este monoid comutativ.

Dacă $z=a+ib\in U(\mathbb {Z} [i],\cdot ),$ atunci $a,b\in \mathbb {Z}$ (în mod evident $a\cdot b\neq 0$) și trebuie ca $1/z\in \mathbb {Z} [i].$ Însă $1/z=a/(a^{2}+b^{2})-i\cdot b/(a^{2}+b^{2}),$ deci trebuie ca $a/(a^{2}+b^{2}),b/(a^{2}+b^{2})\in \mathbb {Z} ,$ de unde deducem imediat că $(a,b)$ trebuie să fie egală cu una din perechile:

$(0,1),\;(1,0),\;(-1,0),\;(0,-1)$

deci $U(\mathbb {Z} [i],\cdot )=\{-1,1,-i,i\}.$

---

3. Fie $d$ un număr natural liber de pătrate ($d\geq 2$) iar $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{x+y{\sqrt {2}}\;|\;x,y\in \mathbb {Z} \}.$ Definim $N:\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]\rightarrow \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$ prin $N(x+y{\sqrt {2}})=x^{2}-dy^{2},$ pentru orice $x,y\in \mathbb {Z} .$

Să se demonstreze că $\left(\mathbb {Z} [d],\cdot \right)$ este monoid comutativ iar $z\in \mathbf {U} \left(\mathbb {Z} [d],\cdot \right)\;\Leftrightarrow \;N(z)\in \{\pm 1\}.$

R. Fie $z_{i}=x_{i}+y_{i}{\sqrt {d}},$ cu $x_{i},y_{i}\in \mathbb {Z} ,\;i=1,2.$

Atunci $z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}x_{2}+dy_{1}y_{2})+(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}){\sqrt {d}}\in \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}].$ Pentru a demonstra partea a doua a problemei, se arată că $N(z_{1}z_{2})=N(z_{1})\cdot N(z_{2}).$ Ținând cont de expresia lui $z_{1}z_{2}$ de mai înainte, se deduce:

$N(z_{1})\cdot N(z_{2})=(x_{1}^{2}-dy_{1}^{2})(x_{2}^{2}-dy_{2}^{2})=x_{1}^{2}x_{2}^{2}-dx_{1}^{2}y_{2}^{2}-dx_{2}^{2}y_{1}^{2}+d^{2}y_{1}^{2}y_{2}^{2}=$

$=(x_{1}^{2}x_{2}^{2}+d^{2}y_{1}^{2}y_{2}^{2})-d(x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+dy_{1}y_{2})^{2}-d(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}=N(z_{1}z_{2}).$

Dacă $z\in \mathbf {U} \left(\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}],\cdot \right),$ atunci $(\exists )\;z'\in \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$ astfel încât $zz'=1,$ deci $N(zz')=N(1)=1,$ de unde $N(z)\cdot N(z')=1,$ adică $N(z)\in \{-1,1\}.$

Reciproc, dacă $z=x+y{\sqrt {d}}\in \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$ și $N(z)\in \{-1,1\},$ atunci avem:

$1/z=1/(x+y{\sqrt {d}})=(x-y{\sqrt {d}})/(x^{2}-y^{2}d)=(x-y{\sqrt {d}})/N(z)=x/N(z)-(y/N(z)){\sqrt {d}},$

deci $1/z\in \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$ (deoarece $x/N(z)=\pm x\in \mathbb {Z}$ iar $y/N(z)=\pm y\in \mathbb {Z}$), de unde se deduce că $z\in \mathbf {U} \left(\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}],\cdot \right).$

---