Analiză matematică/Structuri algebrice/Exerciții

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Jump to navigation Jump to search

1. Fie un semigrup finit și Să se arate că există astfel încât este idempotent.

R. În șirul nu toate elementele sunt distincte deoarece este finit. Deci există astfel încât Fie Atunci etc.

Deci pentru orice Fie Atunci deci este idempotent.


2. Fie Să se demonstreze că este monoid comutativ. Să se determine

R. Se arată ușor că este monoid comutativ.

Dacă atunci (în mod evident ) și trebuie ca Însă deci trebuie ca de unde deducem imediat că trebuie să fie egală cu una din perechile:

deci


3. Fie un număr natural liber de pătrate () iar Definim prin pentru orice

Să se demonstreze că este monoid comutativ iar

R. Fie cu

Atunci Pentru a demonstra partea a doua a problemei, se arată că Ținând cont de expresia lui de mai înainte, se deduce:

Dacă atunci astfel încât deci de unde adică

Reciproc, dacă și atunci avem:

deci (deoarece iar ), de unde se deduce că