1)
Fie
Atunci:
(Inegalitatea lui Schur)
Egalitatea se obține dacă și numai dacă
R.
Presupunem că
Avem:
![{\displaystyle a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-a)(b-c)=(a-b)[a^{r}(a-c)+b^{r}(b-c)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d8bd132c94bbd0644896b420cbc8ed6cffec2d)
Ținând cont că
și
se obține:
![{\displaystyle (a-b)[a^{r}(a-c)-b^{r}(b-c)]\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0657045540249767ed3d4ef23b5422473821177e)
de unde rezultă:

Deoarece:
demonstrația este încheiată.
Generalizare.
Matematicianul român Valentin Vornicu a dat o generalizare a acestei inegalități:
Fie
cu proprietatea
și cu una din inegalitățile:
sau 
Fie
și fie
o funcție convexă și monotonă.
Atunci:

(Forma standard a inegalității Schur se obține pentru
)
2)
Dacă
atunci:

R.
Din inegalitatea mediilor rezultă că
Dacă
inegalitatea este evidentă.
Acum se va considera că
Se notează:

Punând
și
se obține:

Egalitatea are loc dacă
sau dacă
|
---|
| I. Noţiuni introductive | 1. Mulțimi, numere, structuri | | | 2. Sisteme de ecuații liniare | | | 3. Funcții elementare | |
| | II. Calculul diferențial | 1. Șiruri și serii | | | 2. Funcții: limite și continuitate | | | 3. Derivate și diferențiale | | | 4. Șiruri și serii de funcții | | | 5. Funcții de mai multe variabile | | | 6. Funcții implicite | | | 7. Schimbări de variabile | |
| | III. Calculul integral | 1. Integrale definite și nedefinite | | | 2. Extinderea noțiunii de integrală definită | | | 3. Integrale curbilinii | | | 4. Integrale duble și de suprafață | | | 5. Integrale triple | |
| | IV. Ecuații
diferențiale | 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi | | | 2. Ecuații diferențiale de ordin superior | | | 3. Sisteme de ecuații diferențiale | | | 4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi | |
| | Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv. |
|