1)
Fie
Atunci:
(Inegalitatea lui Schur)
Egalitatea se obține dacă și numai dacă
R.
Presupunem că
Avem:
![{\displaystyle a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-a)(b-c)=(a-b)[a^{r}(a-c)+b^{r}(b-c)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d8bd132c94bbd0644896b420cbc8ed6cffec2d)
Ținând cont că
și
se obține:
![{\displaystyle (a-b)[a^{r}(a-c)-b^{r}(b-c)]\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0657045540249767ed3d4ef23b5422473821177e)
de unde rezultă:
![{\displaystyle a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-a)(b-c)\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f198f5cf9c8aa982833eee96d282de83fcf3afce)
Deoarece:
demonstrația este încheiată.
Generalizare.
Matematicianul român Valentin Vornicu a dat o generalizare a acestei inegalități:
Fie
cu proprietatea
și cu una din inegalitățile:
sau ![{\displaystyle z\geq y\geq x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96caf6b55d657f66b6e5c394a499321208d083b)
Fie
și fie
o funcție convexă și monotonă.
Atunci:
![{\displaystyle f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a97c549f68e7ba799e0ccf259ae9c24c00900f)
(Forma standard a inegalității Schur se obține pentru
)
2)
Dacă
atunci:
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 2\left({\frac {b+c}{2}}-a\right)^{3}+3abc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161cd918719e6a8018a945fcf8f1037bbcfa54ff)
R.
Din inegalitatea mediilor rezultă că
Dacă
inegalitatea este evidentă.
Acum se va considera că
Se notează:
![{\displaystyle E=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc-2\left({\frac {b+c}{2}}-a\right)^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162f5e27bee9723264303408f7577d05260a12b0)
Punând
și
se obține:
![{\displaystyle E=12a(x^{2}-xy+y^{2})+6(x+y)(x-y)^{2}\geq 6(x+y)(x-y)^{2}={\frac {3}{2}}\left({\frac {b+c}{2}}\right)(b-c)^{2}\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b578d474fd78a1c39d0bd78d480c5ca0c4003da)
Egalitatea are loc dacă
sau dacă
|
---|
| I. Noţiuni introductive | 1. Mulțimi, numere, structuri | | | 2. Sisteme de ecuații liniare | | | 3. Funcții elementare | |
| | II. Calculul diferențial | 1. Șiruri și serii | | | 2. Funcții: limite și continuitate | | | 3. Derivate și diferențiale | | | 4. Șiruri și serii de funcții | | | 5. Funcții de mai multe variabile | | | 6. Funcții implicite | | | 7. Schimbări de variabile | |
| | III. Calculul integral | 1. Integrale definite și nedefinite | | | 2. Extinderea noțiunii de integrală definită | | | 3. Integrale curbilinii | | | 4. Integrale duble și de suprafață | | | 5. Integrale triple | |
| | IV. Ecuații
diferențiale | 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi | | | 2. Ecuații diferențiale de ordin superior | | | 3. Sisteme de ecuații diferențiale | | | 4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi | |
| | Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv. |
|