1)
Fie
Atunci:
- (Inegalitatea lui Schur)
Egalitatea se obține dacă și numai dacă
R.
Presupunem că
Avem:
Ținând cont că și se obține:
de unde rezultă:
Deoarece: demonstrația este încheiată.
Generalizare.
Matematicianul român Valentin Vornicu a dat o generalizare a acestei inegalități:
Fie cu proprietatea și cu una din inegalitățile:
- sau
Fie și fie o funcție convexă și monotonă.
Atunci:
(Forma standard a inegalității Schur se obține pentru )
2)
Dacă atunci:
R.
Din inegalitatea mediilor rezultă că
Dacă inegalitatea este evidentă.
Acum se va considera că
Se notează:
Punând și se obține:
Egalitatea are loc dacă sau dacă
|
---|
| I. Noţiuni introductive | 1. Mulțimi, numere, structuri | | | 2. Sisteme de ecuații liniare | | | 3. Funcții elementare | |
| | II. Calculul diferențial | 1. Șiruri și serii | | | 2. Funcții: limite și continuitate | | | 3. Derivate și diferențiale | | | 4. Șiruri și serii de funcții | | | 5. Funcții de mai multe variabile | | | 6. Funcții implicite | | | 7. Schimbări de variabile | |
| | III. Calculul integral | 1. Integrale definite și nedefinite | | | 2. Extinderea noțiunii de integrală definită | | | 3. Integrale curbilinii | | | 4. Integrale duble și de suprafață | | | 5. Integrale triple | |
| | IV. Ecuații
diferențiale | 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi | | | 2. Ecuații diferențiale de ordin superior | | | 3. Sisteme de ecuații diferențiale | | | 4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi | |
| | Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv. |
|