Analiză matematică/Numere reale/Exerciții

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Salt la: navigare, căutare

1) Fie Atunci:

  (Inegalitatea lui Schur)

Egalitatea se obține dacă și numai dacă

R. Presupunem că Avem:

Ținând cont că și se obține:

de unde rezultă:

Deoarece: demonstrația este încheiată.

Generalizare. Matematicianul român Valentin Vornicu a dat o generalizare a acestei inegalități:

Fie cu proprietatea și cu una din inegalitățile:

  sau  

Fie și fie o funcție convexă și monotonă.

Atunci:

(Forma standard a inegalității Schur se obține pentru )


2) Dacă atunci:

R. Din inegalitatea mediilor rezultă că Dacă inegalitatea este evidentă. Acum se va considera că

Se notează:

Punând și se obține:

Egalitatea are loc dacă sau dacă