Analiză matematică/Analiză combinatorie

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Salt la: navigare, căutare

Analiza combinatorie este un domeniu al matematicii discrete care studiază modalitățile de numărare ale elementelor mulțimilor finite. Importanța acesteia în cadrul analizei matematice constă în special în faptul că furnizează valorile coeficienților (coeficienți binomiali) care apar în ridicarea la putere a polinoamelor.

Combinări[modificare]

Fie o mulțime conținând elemente, . O submulțime a acesteia conținând elemente, se numește combinare de elemente din Se poate demonstra că numărul acestor combinări este:

(combinări de n elemente luate câte k)

În cazul în care aceste submulțimi sunt considerate ordonate, numărul acestora se numește aranjamente:

Formula lui Pascal[modificare]

Fie cu Există relația:

  (Formula lui Pascal)

Demonstrație. Fie o mulțime cu elemente. Să presupunem că am extras din mulțime o submulțime cu elemente. Să considerăm elementul Dacă acesta aparține combinării, celelalte elemente rămase formează o sumbmulțime a lui de cardinal Dacă elementul nu aparține combinării, atunci sunt elemente care formează submulțimea lui Deoarece avem de-a face cu o reuniune de mulțimi disjuncte, se face suma cardinalilor și se ajunge la relația de demonstrat.

Formula de mai sus permite așezarea combinărilor în ceea ce se numește triunghiul lui Pascal:

   

unde fiecare combinare este suma celor două situate deasupra sa.