De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Fie
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
f
n
:
E
→
R
.
{\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} .}
Definiție.
Se numește serie de funcții o serie de forma:
∑
n
=
1
∞
f
n
=
f
1
+
f
2
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}=f_{1}+f_{2}+\cdots }
Pentru orice punct
x
0
∈
E
{\displaystyle x_{0}\in E}
∑
n
=
1
∞
f
n
(
x
0
)
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x_{0}),}
Definiție.
Seria de funcții
∑
n
=
1
∞
f
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}
convergentă în punctul
x
0
∈
E
{\displaystyle x_{0}\in E}
∑
n
=
1
∞
f
n
(
x
0
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x_{0})}
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
∑
n
=
1
∞
f
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}
mulțime de convergență a seriei date și se va nota cu
X
.
{\displaystyle X.}
Definiție.
Fie șirul de funcții
(
f
n
)
n
∈
N
,
f
n
:
E
→
R
.
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} },\;f_{n}:E\to \mathbb {R} .}
∑
n
=
1
∞
f
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}
converge simplu către funcția
f
{\displaystyle f}
∑
n
=
1
∞
f
n
(
x
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
∈
E
.
{\displaystyle x\in E.}
f
{\displaystyle f}
suma seriei
∑
n
=
1
∞
f
n
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}.}
Propoziție.
Seria
∑
n
=
1
∞
f
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}
E
{\displaystyle E}
f
{\displaystyle f}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
x
∈
E
,
{\displaystyle x\in E,}
N
ε
,
x
{\displaystyle N_{\varepsilon ,x}}
n
≥
N
ε
,
x
{\displaystyle n\geq N_{\varepsilon ,x}}
|
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
+
⋯
+
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
{\displaystyle |f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots +f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }
pentru orice
x
∈
E
.
{\displaystyle x\in E.}
I. Noţiuni introductive
1. Mulțimi, numere, structuri
2. Sisteme de ecuații liniare
3. Funcții elementare
II. Calculul
1. Șiruri și serii
2. Funcții: limite și continuitate
3. Derivate și diferențiale
4. Șiruri și serii de funcții
5. Funcții de mai multe variabile
6. Funcții implicite
7. Schimbări de variabile
III. Calculul
1. Integrale definite și nedefinite
2. Extinderea noțiunii de integrală definită
3. Integrale curbilinii
4. Integrale duble și de suprafață
5. Integrale triple
IV. Ecuații
diferențiale
1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi
2. Ecuații diferențiale de ordin superior
3. Sisteme de ecuații diferențiale
4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi
Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv.
