Analiză matematică/Spațiul n-dimensional

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Jump to navigation Jump to search

Spațiul n-dimensional constituie o generalizare a spațiului unidimensional

Definiții[modificare]

Pentru fixat, se definește:

De exemplu:

Mulțimea poate fi înzestrată cu o structură algebrică de spațiu vectorial real, definind adunarea și înmulțirea cu scalari prin:

pentru orice și

În timp ce mulțimea numerelor reale este total ordonată, între elementele mulțimii nu poate fi definită o relație de ordine totală compatibilă cu structura algebrică, de aceea unele proprietăți ale funcțiilor reale de o variabilă reală nu se pot enunța în cazul funcțiilor reale de mai multe variabile reale.

Spațiu topologic[modificare]

Definiție. Dacă este o mulțime nevidă, se spune că se definește o structură topologică (topologie) pe aceasta dacă, pentru fiecare se poate evidenția o familie de submulțimi ale lui cu proprietățile:

  dacă   atunci
dacă   și   atunci
  oricare ar fi există   încât pentru orice

Familia se numește sistem de vecinătăți ale punctului

O mulțime înzestrată cu o structură topologică se numește spațiu topologic.

Spațiu metric[modificare]

Definiție. Fie o mulțime nevidă și o funcție Se spune că perechea formează un spațiu metric (în care caz, se numește metrică sau distanță) dacă sunt satisfăcute proprietățile:

cu

Dacă este un spațiu metric, atunci mulțimea:

se numește sferă deschisă cu centrul în și rază

Teoremă. Dacă este un spațiu metric, pentru fiecare familia formează un sistem de vecinătăți ale punctului deci orice spațiu metric este în mod natural un spațiu topologic.

În plus, pentru orice deține două proprietăți remarcabile:

(i) Dacă atunci există astfel încât (proprietatea de separare);
(ii) Există astfel încât:
-- oricare ar fi există un astfel încât
-- dacă atunci (această proprietate este cunoscută sub numele de prima axiomă a numărabilității).

Revenind la care este înzestrat cu o structură algebrică pe spațiu vectorial real, se poate defini o structură de spațiu metric utilizând două noțiuni particulare importante, produsul scalar și norma, care se definesc numai în spații vectoriale.

Definiție. Produsul scalar euclidian între elementele lui este definit prin:

pentru orice