Analiză matematică/Analiză combinatorie/Exerciții

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Salt la: navigare, căutare

1) a) Să se determine numărul funcțiilor injective definite pe o mulțime cu elemente cu valori pe o mulțime cu elemente, unde

b) Să se determine numărul aplicațiilor bijective ce pot fi definite pe o mulțime cu elemente.

R.

a) Fie mulțimile Vom determina numărul aplicațiilor injective Din definiția injectivității, la argumente diferite se obțin imagini diferite:

Dacă unei funcții injective îi corespunde o submulțime ordonată a lui și anume: Numărul submulțimilor ordonate cu elemente dintr-o mulțime cu elemente este

Reciproc, fiecărui aranjament de elemente luate câte îi corespunde o unică aplicație injectivă Așadar, se poate stabili o corespondență bijectivă între mulțimea aplicațiilor injective și mulțimea aranjamentelor de elemente luate câte Deci numărul acestor funcții este

b) Se aplică punctul precedent pentru cazul particular când orice aplicație injectivă este bijectivă și numărul căutat devine:


2) Să se demonstreze următoarele proprietăți ale combinărilor:

a)  

b)