Analiză matematică/Structuri algebrice

Studiul structurilor algebrice ca: grup, inel, corp stă la baza algebrei, dar și a calculului diferențial și integral.

Operație

Fie $A$ o mulțime nevidă. Se spune că în $A$ este definită o lege de compoziție (sau operație algebrică) dacă este definită o regulă prin care oricărei perechi ordonate $(a,b)\in A\times A$ îi corespunde un element $c\in A.$ Dacă notăm această operație cu $\ast ,$ se poate scrie:

$a\ast b=c.$

Exemple:

• Operația de adunare asociază perechii de numere reale $(a,b)$ numărul real $a+b$ (suma numerelor).
• Operația de înmulțire asociază perechii $(a,b)\in ℝ\times ℝ$ numărul real $a\times b$ (produsul numerelor).

Operația $\ast$ este comutativă dacă:

$a\ast b=b\ast a,\mathrm{\forall }a,b\in A$

și asociativă dacă:

$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c),\mathrm{\forall }a,b,c\in A.$

Exemple:

• Adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt comutative și asociative.
• Produsul vectorial nu este nici asociativ, nici comutativ, deoarece dacă $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ sunt trei vectori liberi în spațiu:

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a},(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}).$

Grup

Fie $G$ o mulțime nevidă, iar $\ast$ o operație definită în $G.$ Mulțimea $G$ se numește grup dacă operația este asociativă, admite element neutru și se poate inversa.