Analiză matematică/Structuri algebrice

Studiul structurilor algebrice ca: grup, inel, corp stă la baza algebrei, dar și a calculului diferențial și integral.

Operație

Fie $A$ o mulțime nevidă. Se spune că în $A$ este definită o lege de compoziție (sau operație algebrică) dacă este definită o regulă prin care oricărei perechi ordonate $(a,b)\in A\times A$ îi corespunde un element $c\in A.$ Dacă notăm această operație cu $*,$ se poate scrie:

$a*b=c.$

Exemple:

• Operația de adunare asociază perechii de numere reale $(a,b)$ numărul real $a+b$ (suma numerelor).
• Operația de înmulțire asociază perechii $(a,b)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ numărul real $a\times b$ (produsul numerelor).

Operația $*$ este comutativă dacă:

$a*b=b*a,\;\forall a,b\in A$

și asociativă dacă:

$(a*b)*c=a*(b*c),\;\forall a,b,c\in A.$

Exemple:

• Adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt comutative și asociative.
• Produsul vectorial nu este nici asociativ, nici comutativ, deoarece dacă ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ sunt trei vectori liberi în spațiu:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}},\qquad ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\neq {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}}).$

Grup

Fie $G$ o mulțime nevidă, iar $*$ o operație definită în $G.$ Mulțimea $G$ se numește grup dacă operația este asociativă, admite element neutru și se poate inversa.