Analiză matematică/Numere reale

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Salt la: navigare, căutare

Conceptul de număr reprezintă o noțiune de bază a matematicii. Un număr rațional poate fi exprimat atât sub formă de fracție, cât și sub formă zecimală, fie cu un număr finit de zecimale, fie cu zecimale care se repetă periodic. Exemple:

Reprezentarea pe dreaptă a numerelor reale

Un mod de exprimare a numerelor reale îl constituie scrierea zecimală. De exemplu:

Punctele de suspensie indică faptul că zecimalele se continuă în mod indefinit, lucru care are loc în cazul numerelor iraționale.

Numerele reale se pot reprezenta geometric ca puncte ale unei drepte.

Număr natural[modificare]

Conceptul de număr natural stă la baza întregii matematici şi cu ajutorul acestuia se va defini ulterior mulţimea numerelor reale. Mulţimea numerelor naturale poate fi definită axiomatic cu ajutorul axiomelor lui Peano.

Axiomele lui Peano Se numeşte mulţime a numerelor naturale o mulţime A pe care s-a definit o aplicaţie numită lege de succesiune pe A şi care satisface proprietăţile:

Axioma I. În A s-a distins un element numit prim element al lui A, notat cu 1 (sau 0).

Axioma II. Legea de succesiune pe A este o injecţie a mulţimii A în mulţimea

Axioma III. Fie B o mulţime cu proprietăţile: Atunci

Proprietăți ale numerelor reale[modificare]

Proprietățile numerelor reale sunt de trei tipuri

  • algebrice: numerele reale se pot aduna, scădea, înmulți, împărți (în acest ultim caz trebuie că împărțitorul să fie nenul), rezultatul fiind tot un număr real.
  • de ordine: dându-se două numere reale este valabilă una din inegalitățile: sau
  • de completitudine.

Proprietăți algebrice[modificare]

Pe mulțimea numerelor reale se definesc două operații de bază: adunarea și înmulțirea.

Proprietățile adunării numerelor reale

1) (comutativitate)

2) (asociativitate)

3) a.î. (existență element neutru)

4) a.î. (existență element opus).

Proprietățile înmulțirii numerelor reale

1) (comutativitate)

2) (asociativitate)

3) a.î. (existență element neutru)

4) a.î. (existență element opus).

5) (distributivitate față de adunare).

Structura de ordine[modificare]

Proprietățile inegalității. Dacă atunci:

1.

2.

3. și

4. și   în particular,

Teoremă. Orice număr real poate fi exprimat, la un anumit grad de precizie, cu ajutorul numerelor raționale.

Într-adevăr, fie un număr irațional și se pune problema aproximării acestuia cu o precizie de (cum ar fi ). Există un astfel încât Se divide intervalul în părți. Atunci se situează într-un interval de tip

Exemplu. Numărul irațional poate fi aproximat prin numere raționale astfel:

cu precizie de o zecimală;
cu precizie de două zecimale;
cu o precizie de trei zecimale etc.

Valoare absolută[modificare]

Definiție. Valoarea absolută (sau modulul) unui număr este:

Proprietăți. Dacă atunci:

1)

2)

3)

4)

Demonstrație.

1) Avem cazurile:

a)   Atunci  (deoarece și )
b)   Atunci

2) Fie atunci și se folosește punctul anterior:

deoarece

Binomul lui Newton[modificare]

Dacă și atunci:

sau, dacă definim coeficienții binomiali:

atunci se mai poate scrie:

Forma generalizată a binomului lui Newton:

Dacă astfel încât iar atunci:


Exemplu. Să se dezvolte stabilind acele valori ale lui pentru care seria obținută este convergentă.


Soluție. Punând se obține:

Seria converge dacă echivalent cu

Inegalități remarcabile[modificare]

Inegalitatea mediilor[modificare]

Fie Atunci:

  (Inegalitatea mediilor).

Pentru demonstrația acesteia se va utiliza următoarea lemă:

Lemă. Fie cu proprietatea Atunci egalitatea având loc dacă și numai dacă

Demonstrația lemei. Se utilizează inducția matematică. Pentru lema este evidentă. Se presupune că afirmația din lemă este adevărată pentru și se demonstrează pentru Fie deci cu Printre aceste numere există unele mai mici sau egale cu 1 și altele mai mari sau egale cu 1. Renumerotându-le, se poate presupune că Atunci:

ceea ce este echivalent cu:

Deoarece aplicând lema pentru numere, se deduce că:

cu egalitate pentru

Rezultă că:

adică

cu egalitate pentru

Conform metodei inducției matematice, lema este demonstrată.

Pentru demonstrarea inegalității mediilor, se aplică lema pentru numerele:

Caz particular.

Dacă atunci:

Inegalitatea lui Bernoulli[modificare]

Fie Atunci:

Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz[modificare]

Fie Atunci:

Inegalitatea lui Cebîșev[modificare]

Fie și numere reale cu:

Atunci:

Demonstrație. Fie Atunci implică:

Rezumat[modificare]

  • mulţimea numerelor naturale:
  • mulţimea numerelor întregi:
  • mulţimea numerelor întregi negative:
  • mulţimea numerelor raţionale:
  • numerele iraţionale: conţin zecimale care nu se repetă şi care nu sunt în număr finit.
  • mulţimea numerelor reale:
  • mulţimea numerelor complexe:
NumberSetinC.svg