Conceptul de număr reprezintă o noțiune de bază a matematicii.
Un număr rațional poate fi exprimat atât sub formă de fracție, cât și sub formă zecimală, fie cu un număr finit de zecimale, fie cu zecimale care se repetă periodic.
Exemple:

Reprezentarea pe dreaptă a numerelor reale
Un mod de exprimare a numerelor reale îl constituie scrierea zecimală. De exemplu:




Punctele de suspensie indică faptul că zecimalele se continuă în mod indefinit, lucru care are loc în cazul numerelor iraționale.
Numerele reale se pot reprezenta geometric ca puncte ale unei drepte.
Conceptul de număr natural stă la baza întregii matematici şi cu ajutorul acestuia se va defini ulterior mulţimea numerelor reale.
Mulţimea numerelor naturale poate fi definită axiomatic cu ajutorul axiomelor lui Peano.
|
Axiomele lui Peano
Se numeşte mulţime a numerelor naturale o mulţime A pe care s-a definit o aplicaţie numită lege de succesiune pe A şi care satisface proprietăţile:
Axioma I. În A s-a distins un element numit prim element al lui A, notat cu 1 (sau 0).
Axioma II. Legea de succesiune pe A este o injecţie a mulţimii A în mulţimea
Axioma III. Fie B o mulţime cu proprietăţile: Atunci
|
|
Proprietăți ale numerelor reale[modificare]
Proprietățile numerelor reale sunt de trei tipuri
- algebrice: numerele reale se pot aduna, scădea, înmulți, împărți (în acest ultim caz trebuie că împărțitorul să fie nenul), rezultatul fiind tot un număr real.
- de ordine: dându-se două numere reale
este valabilă una din inegalitățile:
sau 
- de completitudine.
Proprietăți algebrice[modificare]
Pe mulțimea numerelor reale se definesc două operații de bază: adunarea și înmulțirea.
|
Proprietățile adunării numerelor reale
1) (comutativitate)
2) (asociativitate)
3) a.î. (existență element neutru)
4) a.î. (existență element opus).
|
|
|
Proprietățile înmulțirii numerelor reale
1) (comutativitate)
2) (asociativitate)
3) a.î. (existență element neutru)
4) a.î. (existență element opus).
5) (distributivitate față de adunare).
|
|
Structura de ordine[modificare]
Teoremă.
Orice număr real
poate fi exprimat, la un anumit grad de precizie, cu ajutorul numerelor raționale.
Într-adevăr, fie
un număr irațional și se pune problema aproximării acestuia cu o precizie de
(cum ar fi
).
Există un
astfel încât
Se divide intervalul
în
părți.
Atunci
se situează într-un interval de tip
Exemplu.
Numărul irațional
poate fi aproximat prin numere raționale astfel:
cu precizie de o zecimală;
cu precizie de două zecimale;
cu o precizie de trei zecimale etc.
Definiție.
Valoarea absolută (sau modulul) unui număr
este:

Proprietăți.
Dacă
atunci:
1)
2)
3)
4)
Demonstrație.
1) Avem cazurile:
- a)
Atunci
(deoarece
și
)
- b)
Atunci 
2)
Fie
atunci
și se folosește punctul anterior:
deoarece 
Dacă
și
atunci:

sau, dacă definim coeficienții binomiali:
atunci se mai poate scrie:

Forma generalizată a binomului lui Newton:
Dacă
astfel încât
iar
atunci:


Exemplu.
Să se dezvolte
stabilind acele valori ale lui
pentru care seria obținută este convergentă.
Soluție.
Punând
se obține:

Seria converge dacă
echivalent cu
Inegalități remarcabile[modificare]
Inegalitatea mediilor[modificare]
Fie
Atunci:
(Inegalitatea mediilor).
Pentru demonstrația acesteia se va utiliza următoarea lemă:
Lemă.
Fie
cu proprietatea
Atunci
egalitatea având loc dacă și numai dacă
Demonstrația lemei.
Se utilizează inducția matematică.
Pentru
lema este evidentă.
Se presupune că afirmația din lemă este adevărată pentru
și se demonstrează pentru
Fie deci
cu
Printre aceste numere există unele mai mici sau egale cu 1 și altele mai mari sau egale cu 1.
Renumerotându-le, se poate presupune că
Atunci:
ceea ce este echivalent cu:

Deoarece
aplicând lema pentru
numere, se deduce că:

cu egalitate pentru
Rezultă că:
adică 
cu egalitate pentru
Conform metodei inducției matematice, lema este demonstrată.
Pentru demonstrarea inegalității mediilor, se aplică lema pentru numerele:
![{\displaystyle x_{i}={\frac {a_{i}}{\sqrt[{n}]{{\underset {i=1}{\overset {n}{\prod }}}a_{i}}}},\qquad i={\overline {1,n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab451b673c153ff40426ac35a04f8f417fe815e)
Caz particular.
|
Dacă atunci:

|
|
Inegalitatea lui Bernoulli[modificare]
Fie
Atunci:

Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz[modificare]
Fie
Atunci:

Inegalitatea lui Cebîșev[modificare]
Fie
și
numere reale cu:

Atunci:

Demonstrație.
Fie
Atunci
implică:
|
- mulţimea numerelor naturale:

- mulţimea numerelor întregi:

- mulţimea numerelor întregi negative:

- mulţimea numerelor raţionale:

- numerele iraţionale: conţin zecimale care nu se repetă şi care nu sunt în număr finit.
- mulţimea numerelor reale:

- mulţimea numerelor complexe:


|
|
|
---|
| I. Noţiuni introductive | 1. Mulțimi, numere, structuri | | | 2. Sisteme de ecuații liniare | | | 3. Funcții elementare | |
| | II. Calculul diferențial | 1. Șiruri și serii | | | 2. Funcții: limite și continuitate | | | 3. Derivate și diferențiale | | | 4. Șiruri și serii de funcții | | | 5. Funcții de mai multe variabile | | | 6. Funcții implicite | | | 7. Schimbări de variabile | |
| | III. Calculul integral | 1. Integrale definite și nedefinite | | | 2. Extinderea noțiunii de integrală definită | | | 3. Integrale curbilinii | | | 4. Integrale duble și de suprafață | | | 5. Integrale triple | |
| | IV. Ecuații
diferențiale | 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi | | | 2. Ecuații diferențiale de ordin superior | | | 3. Sisteme de ecuații diferențiale | | | 4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi | |
| | Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv. |
|