1.
Dacă
este un număr complex, să se arate că:
![{\displaystyle \cos n\theta ={\frac {1}{2}}\left(z^{n}+{\frac {1}{z^{n}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292ca86630d9079c69e3af513077f485dc479769)
![{\displaystyle \sin n\theta ={\frac {1}{2i}}\left(z^{n}-{\frac {1}{z^{n}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8f40d391ca77d275402ec1c5f6d6ae181f8414)
2.
Să se demonstreze că:
a)
b)
c)
3.
Să se demonstreze că:
a)
unde s-a notat
b)
Indicație.
a) Se utilizează relația:
![{\displaystyle 1-z^{n+1}=(1-z)(1+z+z^{2}+\cdots +z^{n}),\;\forall z\in \mathbb {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ace1c9958dd9f9194ea96f7ee9a176cb3c48c6)
b) Se utilizează punctul a).
4.
Să se demonstreze identitatea lui Lagrange:
![{\displaystyle 1+\cos \theta +\cos 2\theta +\cdots +\cos n\theta ={\frac {1}{2}}+{\frac {\sin[(n+1/2)\theta ]}{2\sin {\frac {\theta }{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd89b625114d439d354b40c31501f6c001478fe5)
pentru
Indicație.
Se aplică 3 b).
5.
Să se determine rădăcinile pătrate ale următoarelor numere:
a)
b)
c)
d)
R.
a) Fie
o rădăcină pătrată a lui
Necunoscutele
verifică sistemul:
![{\displaystyle {\begin{cases}X^{2}+Y^{2}=5\\X^{2}-Y^{2}=-3\\\;XY\qquad >0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3628f295849d9c38eb12e5a0bd9ec50186d135b)
Vor rezulta în final două soluții:
b)
c)
d)
6.
Să se determine rădăcinile polinomului:
![{\displaystyle P(z)=z^{2}+iz+5-5i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2964c5f70f55e3447e70a58f54e3b6db206450)
R.
Discriminantul este:
Una din rădăcinile pătrate ale acestuia este
Rădăcinile polinomului sunt:
7.
Fie
Să se determine modulul și argumentul numărului complex:
a)
b)
c)
R.
a) Se ține cont de relația:
![{\displaystyle z=e^{i\theta }+1=e^{i{\frac {\theta }{2}}}\left(e^{i{\frac {\theta }{2}}}+e^{-i{\frac {\theta }{2}}}=2\cos {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\theta }{2}}}.\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c930f405c8259d3347d0cc681fcf9ca94520f614)
Dar
deoarece
Rezultă:
![{\displaystyle |z|=2\cos {\frac {\theta }{2}},\quad \arg(z)={\frac {\theta }{2}}[2\pi ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804fc0439090511f7af1727c7549c81ca171709f)
b)
În mod similar se obține:
![{\displaystyle |z|=\left|\cot {\frac {\theta }{2}}\right|,\quad \arg(z)={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}},&dac{\breve {a}}\;\theta \in [0,\pi )\\-{\frac {3\pi }{2}}[2\pi ],&dac{\breve {a}}\;\theta \in (-\pi ,0)\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a62ce76a29b7a84c2fb19ebbeddf7daa9212dff)
c)
![{\displaystyle |z|=\left|\cot {\frac {\theta }{2}}\right|,\quad \arg(z)={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}},&dac{\breve {a}}\;\theta \in [0,\pi )\\-{\frac {3\pi }{2}}[2\pi ],&dac{\breve {a}}\;\theta \in (-\pi ,0)\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a62ce76a29b7a84c2fb19ebbeddf7daa9212dff)
|
---|
| I. Noţiuni introductive | 1. Mulțimi, numere, structuri | | | 2. Sisteme de ecuații liniare | | | 3. Funcții elementare | |
| | II. Calculul diferențial | 1. Șiruri și serii | | | 2. Funcții: limite și continuitate | | | 3. Derivate și diferențiale | | | 4. Șiruri și serii de funcții | | | 5. Funcții de mai multe variabile | | | 6. Funcții implicite | | | 7. Schimbări de variabile | |
| | III. Calculul integral | 1. Integrale definite și nedefinite | | | 2. Extinderea noțiunii de integrală definită | | | 3. Integrale curbilinii | | | 4. Integrale duble și de suprafață | | | 5. Integrale triple | |
| | IV. Ecuații
diferențiale | 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi | | | 2. Ecuații diferențiale de ordin superior | | | 3. Sisteme de ecuații diferențiale | | | 4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi | |
| | Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv. |
|