1.
Dacă
este un număr complex, să se arate că:


2.
Să se demonstreze că:
a)
b)
c)
3.
Să se demonstreze că:
a)
unde s-a notat
b)
Indicație.
a) Se utilizează relația:

b) Se utilizează punctul a).
4.
Să se demonstreze identitatea lui Lagrange:
![{\displaystyle 1+\cos \theta +\cos 2\theta +\cdots +\cos n\theta ={\frac {1}{2}}+{\frac {\sin[(n+1/2)\theta ]}{2\sin {\frac {\theta }{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd89b625114d439d354b40c31501f6c001478fe5)
pentru
Indicație.
Se aplică 3 b).
5.
Să se determine rădăcinile pătrate ale următoarelor numere:
a)
b)
c)
d)
R.
a) Fie
o rădăcină pătrată a lui
Necunoscutele
verifică sistemul:

Vor rezulta în final două soluții:
b)
c)
d)
6.
Să se determine rădăcinile polinomului:

R.
Discriminantul este:
Una din rădăcinile pătrate ale acestuia este
Rădăcinile polinomului sunt:
7.
Fie
Să se determine modulul și argumentul numărului complex:
a)
b)
c)
R.
a) Se ține cont de relația:

Dar
deoarece
Rezultă:
![{\displaystyle |z|=2\cos {\frac {\theta }{2}},\quad \arg(z)={\frac {\theta }{2}}[2\pi ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804fc0439090511f7af1727c7549c81ca171709f)
b)
În mod similar se obține:
![{\displaystyle |z|=\left|\cot {\frac {\theta }{2}}\right|,\quad \arg(z)={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}},&dac{\breve {a}}\;\theta \in [0,\pi )\\-{\frac {3\pi }{2}}[2\pi ],&dac{\breve {a}}\;\theta \in (-\pi ,0)\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a62ce76a29b7a84c2fb19ebbeddf7daa9212dff)
c)
![{\displaystyle |z|=\left|\cot {\frac {\theta }{2}}\right|,\quad \arg(z)={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}},&dac{\breve {a}}\;\theta \in [0,\pi )\\-{\frac {3\pi }{2}}[2\pi ],&dac{\breve {a}}\;\theta \in (-\pi ,0)\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a62ce76a29b7a84c2fb19ebbeddf7daa9212dff)
|
---|
| I. Noţiuni introductive | 1. Mulțimi, numere, structuri | | | 2. Sisteme de ecuații liniare | | | 3. Funcții elementare | |
| | II. Calculul diferențial | 1. Șiruri și serii | | | 2. Funcții: limite și continuitate | | | 3. Derivate și diferențiale | | | 4. Șiruri și serii de funcții | | | 5. Funcții de mai multe variabile | | | 6. Funcții implicite | | | 7. Schimbări de variabile | |
| | III. Calculul integral | 1. Integrale definite și nedefinite | | | 2. Extinderea noțiunii de integrală definită | | | 3. Integrale curbilinii | | | 4. Integrale duble și de suprafață | | | 5. Integrale triple | |
| | IV. Ecuații
diferențiale | 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi | | | 2. Ecuații diferențiale de ordin superior | | | 3. Sisteme de ecuații diferențiale | | | 4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi | |
| | Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv. |
|