Analiză matematică/Numere complexe/Exerciții

1. Dacă $z=\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ este un număr complex, să se arate că:

$\cos n\theta ={\frac {1}{2}}\left(z^{n}+{\frac {1}{z^{n}}}\right)$

$\sin n\theta ={\frac {1}{2i}}\left(z^{n}-{\frac {1}{z^{n}}}\right).$

---

2. Să se demonstreze că:

a) $\cos ^{3}\theta +\sin ^{3}\theta ={\frac {\cos 3\theta +3\cos \theta -\sin ^{3}\theta +3\sin \theta }{4}};$

b) $\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}};$

c) $\sin ^{5}\theta ={\frac {\sin 5\theta -5\sin 3\theta +10\sin \theta }{16}}.$

---

3. Să se demonstreze că:

a) $\sum _{k=1}^{n}\exp(ik\theta )={\frac {\exp(in\theta )-1}{1-\exp(-i\theta )}},$

unde s-a notat $\exp z=e^{z},\;\forall z\in \mathbb {C} .$

b) $\sum _{k=1}^{n}\exp(ik\theta )={\frac {\exp[i(n+{\frac {1}{2}})\theta ]-\exp(i\theta /2)}{\exp(i\theta /2)-\exp(-i\theta /2)}}.$

Indicație. a) Se utilizează relația:

$1-z^{n+1}=(1-z)(1+z+z^{2}+\cdots +z^{n}),\;\forall z\in \mathbb {C} .$

b) Se utilizează punctul a).

---

4. Să se demonstreze identitatea lui Lagrange:

$1+\cos \theta +\cos 2\theta +\cdots +\cos n\theta ={\frac {1}{2}}+{\frac {\sin[(n+1/2)\theta ]}{2\sin {\frac {\theta }{2}}}},$

pentru $0<\theta <2\pi .$

Indicație. Se aplică 3 b).

---

5. Să se determine rădăcinile pătrate ale următoarelor numere:

a) $z=-3+4i$

b) $z=-5-12i$

c) $z=-24-10i$

d) $z=-i.$

R. a) Fie $Z=X+iY$ o rădăcină pătrată a lui $z.$ Necunoscutele $X,Y$ verifică sistemul:

${\begin{cases}X^{2}+Y^{2}=5\\X^{2}-Y^{2}=-3\\\;XY\qquad >0.\end{cases}}$

Vor rezulta în final două soluții: $Z_{1}=-1-2i,\;Z_{2}=1+2i.$

b) $Z_{1}=-2+3i,\;Z_{2}=2-3i.$

c) $Z_{1}=-1+5i,\;Z_{2}=1-5i.$

d) $Z_{1}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(-1+i),\;Z_{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i).$

---

6. Să se determine rădăcinile polinomului:

$P(z)=z^{2}+iz+5-5i.$

R. Discriminantul este: $\Delta =-21+20i.$ Una din rădăcinile pătrate ale acestuia este $2+5i.$ Rădăcinile polinomului sunt: $-1-3i,\;1+2i.$

---

7. Fie $\theta \in [-\pi ,\pi ].$ Să se determine modulul și argumentul numărului complex:

a) $z=e^{i\theta }+1;$

b) $z=e^{i\theta }-1;$

c) $z={\frac {\cos \theta +i\sin \theta +1}{\cos \theta +i\sin \theta -1}}.$

R. a) Se ține cont de relația:

$z=e^{i\theta }+1=e^{i{\frac {\theta }{2}}}\left(e^{i{\frac {\theta }{2}}}+e^{-i{\frac {\theta }{2}}}=2\cos {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\theta }{2}}}.\right)$

Dar $\cos {\frac {\theta }{2}}\geq 0,$ deoarece $\theta \in [-\pi ,\pi ].$

Rezultă:

$|z|=2\cos {\frac {\theta }{2}},\quad \arg(z)={\frac {\theta }{2}}[2\pi ].$

b) În mod similar se obține:

$|z|=\left|\cot {\frac {\theta }{2}}\right|,\quad \arg(z)={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}},&dac{\breve {a}}\;\theta \in [0,\pi )\\-{\frac {3\pi }{2}}[2\pi ],&dac{\breve {a}}\;\theta \in (-\pi ,0)\end{cases}}.$

c)   $z={\frac {e^{i{\frac {\theta }{2}}}2\cos {\frac {\theta }{2}}}{e^{i{\frac {\theta }{2}}}2i\sin {\frac {\theta }{2}}}}=\cot {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\pi }{2}}}.$

$|z|=\left|\cot {\frac {\theta }{2}}\right|,\quad \arg(z)={\begin{cases}-{\frac {\pi }{2}},&dac{\breve {a}}\;\theta \in [0,\pi )\\-{\frac {3\pi }{2}}[2\pi ],&dac{\breve {a}}\;\theta \in (-\pi ,0)\end{cases}}.$

---