Analiză matematică/Integrale cu parametru/Exerciții

1) Să se studieze continuitatea funcției:

$F(y)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin xy}{1+x^2},\mathrm{\forall }y\in ℝ.$

R. Fie $f(x,y)=\frac{\sin xy}{1+x^2},(x,y)\in [0,\mathrm{\infty })\times ℝ.$ Evident, $f$ este funcție continuă. Se demonstrează acum că integrala (improprie) cu parametru:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dx$

este uniform convergentă în raport cu $y$ pe $ℝ$ și deci funcția este continuă.

Are loc inegalitatea:

$|f(x,y)|\le \frac{1}{1+x^2},\mathrm{\forall }(x,y)\in [0,\mathrm{\infty })\times ℝ.$

Integrala improprie ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+x^2}dx$ este convergentă și deci, conform criteriului de comparație, integrala dată este uniform convergentă.

---

2) Fie $f:[0,1]\times (0,\mathrm{\infty })\mapsto ℝ,f(x,y)={\left(\frac{x}{y}\right)}^2{e}^{-(\frac{x}{y}{)}^2}$ și fie integrala cu parametru $F(y)={\int }_0^{1}f(x,y)dx.$ Să se calculeze:

i. $\underset{y\to 0}{lim}{\int }_0^{1}f(x,y);$

ii. ${\int }_0^1\underset{y\to 0}{lim}f(x,y)dx.$

R.

i. Pentru orice $y>0,$ avem:

$F(y)={\int }_0^{1}f(x,y)dx=-\frac{1}{2}{e}^{-(\frac{x}{y}{)}^2}{|}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{y^2}}.$

Rezultă: $\underset{y\to 0}{lim}{\int }_0^{1}f(x,y)dx=\frac{1}{2}.$

ii. ${\int }_0^1\underset{y\to 0}{lim}f(x,y)dx={\int }_0^{1}0dx=0.$