Analiză matematică/Integrale cu parametru/Exerciții

1) Să se studieze continuitatea funcției:

$F(y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin xy}{1+x^{2}}},\;\forall y\in \mathbb {R} .$

R. Fie $f(x,y)={\frac {\sin xy}{1+x^{2}}},\;(x,y)\in [0,\infty )\times \mathbb {R} .$ Evident, $f$ este funcție continuă. Se demonstrează acum că integrala (improprie) cu parametru:

$\int _{0}^{\infty }f(x,y)dx$

este uniform convergentă în raport cu $y$ pe $\mathbb {R}$ și deci funcția este continuă.

Are loc inegalitatea:

$|f(x,y)|\leq {\frac {1}{1+x^{2}}},\;\forall (x,y)\in [0,\infty )\times \mathbb {R} .$

Integrala improprie $\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}dx$ este convergentă și deci, conform criteriului de comparație, integrala dată este uniform convergentă.

---

2) Fie $f:[0,1]\times (0,\infty )\mapsto \mathbb {R} ,\;f(x,y)=\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}e^{-({\frac {x}{y}})^{2}}$ și fie integrala cu parametru $F(y)=\int _{0}^{1}f(x,y)dx.$ Să se calculeze:

i. $\lim _{y\to 0}\int _{0}^{1}f(x,y);$

ii. $\int _{0}^{1}\lim _{y\to 0}f(x,y)dx.$

R.

i. Pentru orice $y>0,$ avem:

$F(y)=\int _{0}^{1}f(x,y)dx=-{\frac {1}{2}}e^{-({\frac {x}{y}})^{2}}|_{0}^{1}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {1}{y^{2}}}}.$

Rezultă: $\lim _{y\to 0}\int _{0}^{1}f(x,y)dx={\frac {1}{2}}.$

ii. $\int _{0}^{1}\lim _{y\to 0}f(x,y)dx=\int _{0}^{1}0dx=0.$