1)
Să se studieze continuitatea funcției:
![{\displaystyle F(y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin xy}{1+x^{2}}},\;\forall y\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fa9226855a62cf77f3b6e170cb3dcf1432b7b0)
R.
Fie
Evident,
este funcție continuă.
Se demonstrează acum că integrala (improprie) cu parametru:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x,y)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47832f81cc592355cfc1204f2eb06c04d95595ce)
este uniform convergentă în raport cu
pe
și deci funcția este continuă.
Are loc inegalitatea:
![{\displaystyle |f(x,y)|\leq {\frac {1}{1+x^{2}}},\;\forall (x,y)\in [0,\infty )\times \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f627065a7e54d9e83271eb251dea23baef19bb9)
Integrala improprie
este convergentă și deci, conform criteriului de comparație, integrala dată este uniform convergentă.
2)
Fie
și fie integrala cu parametru
Să se calculeze:
i.
ii.
R.
i.
Pentru orice
avem:
![{\displaystyle F(y)=\int _{0}^{1}f(x,y)dx=-{\frac {1}{2}}e^{-({\frac {x}{y}})^{2}}|_{0}^{1}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {1}{y^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966f6438719ee7821867a72748eab4b3f13b72fd)
Rezultă:
ii.
|
---|
| I. Noţiuni introductive | 1. Mulțimi, numere, structuri | | | 2. Sisteme de ecuații liniare | | | 3. Funcții elementare | |
| | II. Calculul diferențial | 1. Șiruri și serii | | | 2. Funcții: limite și continuitate | | | 3. Derivate și diferențiale | | | 4. Șiruri și serii de funcții | | | 5. Funcții de mai multe variabile | | | 6. Funcții implicite | | | 7. Schimbări de variabile | |
| | III. Calculul integral | 1. Integrale definite și nedefinite | | | 2. Extinderea noțiunii de integrală definită | | | 3. Integrale curbilinii | | | 4. Integrale duble și de suprafață | | | 5. Integrale triple | |
| | IV. Ecuații
diferențiale | 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi | | | 2. Ecuații diferențiale de ordin superior | | | 3. Sisteme de ecuații diferențiale | | | 4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi | |
| | Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv. |
|