De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Fie o mulțime nevidă
A
{\displaystyle A}
și
[
a
,
b
]
⊂
R
{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }
un interval compact.
Fie
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
o funcție de două variabile reale astfel încât pentru orice
y
∈
A
{\displaystyle y\in A}
aplicația
x
↦
f
(
x
,
y
)
∈
R
{\displaystyle x\mapsto f(x,y)\in \mathbb {R} }
este integrabilă Riemann .
Funcția definită prin:
F
:
A
→
R
,
F
(
y
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle F:A\to \mathbb {R} ,\;F(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)dx}
se numește integrală cu parametru.
Dacă
f
:
[
a
,
b
]
×
A
↦
R
{\displaystyle f:[a,b]\times A\mapsto \mathbb {R} }
este continuă, atunci integrala cu parametru
F
(
y
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle F(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)dx}
este funcție continuă .
Fie
f
:
[
a
,
b
]
×
(
c
,
d
)
↦
R
{\displaystyle f:[a,b]\times (c,d)\mapsto \mathbb {R} }
o funcție continuă astfel încât derivata parțială
∂
f
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}
există și este continuă pe
[
a
,
b
]
×
(
c
,
d
)
.
{\displaystyle [a,b]\times (c,d).}
Atunci integrala cu parametru
F
(
y
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle F(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)dx}
este derivabilă și
F
′
(
y
)
=
∫
a
b
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
d
x
,
∀
y
∈
(
c
,
d
)
.
{\displaystyle F'(y)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx,\;\forall y\in (c,d).}
I. Noţiuni introductive
1. Mulțimi, numere, structuri
2. Sisteme de ecuații liniare
3. Funcții elementare
II. Calculul diferențial
1. Șiruri și serii
2. Funcții: limite și continuitate
3. Derivate și diferențiale
4. Șiruri și serii de funcții
5. Funcții de mai multe variabile
6. Funcții implicite
7. Schimbări de variabile
III. Calculul integral
1. Integrale definite și nedefinite
2. Extinderea noțiunii de integrală definită
3. Integrale curbilinii
4. Integrale duble și de suprafață
5. Integrale triple
IV. Ecuații
diferențiale
1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi
2. Ecuații diferențiale de ordin superior
3. Sisteme de ecuații diferențiale
4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi
Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv.