Analiză matematică/Relație binară

Definiții.

(i) O relație binară ${\mathcal {R}}$ de la mulțimea arbitrară $A\neq \emptyset$ la mulțimea oarecare $B\neq \emptyset$ este o submulțime a produsului cartezian $A\times B.$

În acest caz, se spune că ${\mathcal {R}}$ este o relație binară între elemente ale lui $A$ și elemente ale lui $B.$ Dacă $(x,y)\in {\mathcal {R}}\subseteq A\times B$ spunem că $x$ este în relația ${\mathcal {R}}$ cu $y$ și scriem $x{\mathcal {R}}y.$
$A$ se numește domeniul relației ${\mathcal {R}},$ iar $B$ codomeniul și se notează:

$D({\mathcal {R}})=A,\quad Im({\mathcal {R}})=B.$

(ii) În cazul în care $A=B,$ o relație binară (pe $A)$ este o parte a produsului cartezian $A^{2}$ și se numește omogenă.

(iii) O relație ${\mathcal {R}}$ pe o mulțime $A$ poate fi:

• reflexivă, dacă $x{\mathcal {R}}x,\;\forall x\in A;$
• simetrică, dacă $x{\mathcal {R}}y\;\Rightarrow \;y{\mathcal {R}}x,\;\forall x,y\in A;$
• antisimetrică, dacă $x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}x\;\Rightarrow x=y,\;\forall x,y\in A;$
• tranzitivă, dacă $x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\;\Rightarrow \;x{\mathcal {R}}z,\;\forall x,y,z\in A.$

(iv) O relație binară care este reflexivă, simetrică și tranzitivă se numește relație de echivalență, iar dacă este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă se numește relație de ordine.