Analiză matematică/Șiruri numerice/Exerciții

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Jump to navigation Jump to search

1. Să se demonstreze că următoarele șiruri sunt convergente și, aplicând definiția cu să se arate că este limita șirului considerat:

a)

b)

c)


R.

a) Avem:

deci șirul este crescător. Mai departe:

deci șirul este și mărginit și, conform teoremei lui Weierstrass, șirul este convergent.

Pentru a demonstra că este limita, trebuie să se arate că (oricât de mic) se poate găsi un rang dependent de astfel încât pentru toți termenii de rang există relația:

Cum prima inegalitate este evidentă, mai trebuie să fie verificată a doua, deci:

b) Există relațiile: dacă și dacă

Deci șirul este crescător dacă și descrescător dacă

c)  

Condiția ca este echivalentă cu deci:


2. Dacă un şir este convergent, atunci şirul , dat de , este convergent la zero. Dacă şirul converge la atunci şirul nu este convergent.

R. Conform definiţiei, este convergent dacă şi numai dacă astfel încât, astfel încât are loc:

Atunci:

Fie , arbitrar, atunci:

Cum a fosr arbitrar, rezultă că astfel încât:

deci, echivalent cu:

Dacă atunci şirul nu poate fi convergent, deoarece din cele demonstrate anterior, ar rezulta , ceea ce este contradictoriu.


3. Stabiliți dacă următoarele șiruri sunt fundamentale (Cauchy):

a)
b)
c)
d)
e)

R.

a)  

Majorantul este un șir convergent la 0, al cărui termen general nu depinde de Rezultă că este șir fundamental (Cauchy).

b)  

Se observă că pentru se obține:

Rezultă de aici că nu tinde către 0, deci șirul nu este fundamental.

c)  

Cum majorantul este un șir convergent la 0 și nu depinde de rezultă că șirul este fundamental.

d)  
e) Deoarece

Pentru orice există astfel încât (de exemplu ), prin urmare există astfel încât deci nu este majorat, deci este nemărginit, deci nu este fundamental.


4. Să se calculeze:

R.  


5. Se consideră șirul cu termenul general:

Să se calculeze:

R. Pentru calcularea sumei, se va descompune termenul general într-o sumă de fracții elementare:

și, aplicând metoda coeficienților nedeterminați, se obține:

deci

Așadar, Deci:

Adunând membru cu membru aceste egalități și reducând termenii asemenea, se obține:

Rezultă:


6. Se consideră șirul cu termenul general:

unde

Să se demonstreze că șirul este mărginit, convergent și să i se calculeze limita.

R.  

Cum este un șir de numere pozitive, rezultă că pentru orice avem deci este un șir mărginit.

Mai departe, se observă că:

adică:

Prin trecere la limită se obține:


7. Să se calculeze:

R.  


8. Să se calculeze:

  unde

R.  


9. Să se calculeze:  

Generalizare.  

R.