De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
1. Să se calculeze integralele:
a)
b)
R. a) Se face schimbarea de variabilă:
deci
Mai departe:
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int {\frac {1}{\sin t}}(-\sin t\mathrm {d} t)=-\int \mathrm {d} t=-t+\mathrm {C} =-\arccos x+{\mathcal {C}}=\arcsin x+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e616b8c5791c6eaf903ff65088aed0707ecf78)
S-a ţinut cont că:
![{\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}\;,\;\forall x\in [-1,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90998e849f643ae527e45de1e4f724a3c41be46)
b) Se face schimbarea de variabilă:
Avem:
![{\displaystyle x={\sqrt {1-t^{2}}}\;,\;\mathrm {d} x=-{\frac {t\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98de877a541562f15314d23f24a95f8f974add6c)
![{\displaystyle \int {\frac {x\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int {\frac {1}{t}}\cdot {\sqrt {1-t^{2}}}\cdot \left({\frac {t\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\right)=-\int \mathrm {d} t=-t+{\mathcal {C}}={\sqrt {1-t^{2}}}+{\mathcal {C}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1899271deeda24e7bcfe1aef8e1956a2c4cd7d0b)
|
---|
| I. Noţiuni introductive | 1. Mulțimi, numere, structuri | | | 2. Sisteme de ecuații liniare | | | 3. Funcții elementare | |
| | II. Calculul diferențial | 1. Șiruri și serii | | | 2. Funcții: limite și continuitate | | | 3. Derivate și diferențiale | | | 4. Șiruri și serii de funcții | | | 5. Funcții de mai multe variabile | | | 6. Funcții implicite | | | 7. Schimbări de variabile | |
| | III. Calculul integral | 1. Integrale definite și nedefinite | | | 2. Extinderea noțiunii de integrală definită | | | 3. Integrale curbilinii | | | 4. Integrale duble și de suprafață | | | 5. Integrale triple | |
| | IV. Ecuații
diferențiale | 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi | | | 2. Ecuații diferențiale de ordin superior | | | 3. Sisteme de ecuații diferențiale | | | 4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi | |
| | Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv. |
|