Analiză matematică/Determinanți

Permutare

Fie mulțimea $A = {1, 2, \dots, n} .$ Vom nota prin $𝒫_{n}$ mulțimea tuturor grupurilor care se pot forma cu cele $n$ elemente, două grupuri oarecare diferind între ele prin ordinea elementelor. Un element $P \in 𝒫_{n}$ se numește permutare și se notează:

P = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ i_{1} & i_{2} & \dots & i_{n} \end{matrix}) .

Două elemente ale unei permutări formează o inversiune dacă sunt așezate în ordinea inversă aceleia din permutarea principală $U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & n \end{matrix}) .$ Fiind dată permutarea $P \in 𝒫_{n}$ definim signatura acesteia prin:

ε (P) = (- 1)^{σ (P)},

unde $σ (P)$ reprezintă numărul tuturor inversiunilor lui $P .$

Determinant

Se numește determinant de ordinul $n$ numărul notat prin: $D = det (a_{i j}), i, j = 1, 2, \dots n$ și definit prin:

D = \sum_{p \in 𝒫_{n}} ε (P) a_{1 i_{1}} a_{2 i_{2}} \dots a_{n i_{n}}, P = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & n \end{matrix}) .

Prin transpusul determinantului $D$ se înțelege determinantul obținut din $D$ prin schimbarea liniilor și coloanelor între ele. Prin minorul complementar al elementului $a_{i j}$ se înțelege determinantul de ordinul $n - 1,$ notat $D_{j i},$ obținut din $D$ prin suprimarea liniei $i$ și a coloanei $j .$ Complementul algebric al lui $a_{i j}$ este numărul $α_{j i} = (- 1)^{i + j} D_{j i} .$ Avem:

\sum_{k = 1}^{n} a_{j k} α_{k j} = D δ_{j i}, \sum_{k = 1}^{n} a_{k i} α_{j k} = D δ_{i j}, δ_{i j} = {\begin{matrix} 0, & i \neq j, \\ 1, & i = j . \end{matrix}

Pentru $i = j$ se obține:

\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} α_{k i} = D, \sum_{k = 1}^{n} a_{k i} α_{i k} = D, i = 1, 2, \dots, n,

care sunt formule pentru dezvoltare a determinantului după elementele liniei (respectiv coloanei) $i .$

Fie $r < n .$ Se numește minor de ordin $r$ în $D$ un determinant $M$ format cu $r$ linii și $r$ coloane din $D .$ Numim minor complementar minorului $M$ de ordin $r,$ minorul $N$ obținut din $D$ prin suprimarea celor $r$ linii și $r$ coloane ale lui $M .$

Complementul algebric al minorului $M$ este numărul:

M^{'} = (- 1)^{s (M)},

$s (M)$ fiind suma indicilor liniilor și coloanelor care determină $M .$

Teorema lui Laplace

$Teoremă.$ Determinantul $D = det (a_{i j})$ este egal cu suma produselor minorilor de pe $r$ linii fixate prin complemenții lor algebrici.