Analiză matematică/Determinanți

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Jump to navigation Jump to search

Permutare[modificare]

Fie mulțimea Vom nota prin mulțimea tuturor grupurilor care se pot forma cu cele elemente, două grupuri oarecare diferind între ele prin ordinea elementelor. Un element se numește permutare și se notează:

Două elemente ale unei permutări formează o inversiune dacă sunt așezate în ordinea inversă aceleia din permutarea principală   Fiind dată permutarea definim signatura acesteia prin:

unde reprezintă numărul tuturor inversiunilor lui

Determinant[modificare]

Se numește determinant de ordinul numărul notat prin: și definit prin:

Prin transpusul determinantului se înțelege determinantul obținut din prin schimbarea liniilor și coloanelor între ele. Prin minorul complementar al elementului se înțelege determinantul de ordinul notat obținut din prin suprimarea liniei și a coloanei Complementul algebric al lui este numărul Avem:

Pentru se obține:

care sunt formule pentru dezvoltare a determinantului după elementele liniei (respectiv coloanei)

Fie Se numește minor de ordin în un determinant format cu linii și coloane din Numim minor complementar minorului de ordin minorul obținut din prin suprimarea celor linii și coloane ale lui

Complementul algebric al minorului este numărul:

fiind suma indicilor liniilor și coloanelor care determină

Teorema lui Laplace[modificare]

Determinantul este egal cu suma produselor minorilor de pe linii fixate prin complemenții lor algebrici.