Noțiunea de mulțime este un concept de bază al matematicii obţinut în urma unui proces de abstractizare.
Se vor nota mulţimile cu litere majuscule:
iar elementele acestora cu litere mici:
Familiile de mulţimi se vor nota cu litere ronde:
Dacă o mulțime este indicată prin elementele sale, mulțimea se notează enumerând între acolade aceste elemente.
Dacă mulțimea este dată printr-o proprietate prin care elementele acesteia se disting de cele care nu aparțin mulțimii, atunci mulțimea se notează specificând această proprietate.
Mulțimea care nu are niciun element se numește mulțimea vidă și se notează
Exemple.
1) Mulțimea
formată din elementele
se notează:
![{\displaystyle A=\{a,b,c,d\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44960fc123d05770a274e25ee0a33fd0c1e83bdd)
2) Mulțimea
formată din numerele naturale mai mari decât 100 se notează:
![{\displaystyle M=\{x\;|\;x>100\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f9378bcc93ec81c8dff1b537ef1196645d5d56)
Dacă un element
aparține mulțimii
se notează
1. Definiție. Fie A şi B două mulţimi. Atunci se va scrie şi se va nota:
(A este inclusă în B);
(A este egală cu B);
(A este inclusă strict în B);
- Prin submulțime (parte) a unei mulțimi
se înțelege o mulțime inclusă în ![{\displaystyle A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a71bf21ad35b8fe05555041d54d1e17eeb0f490)
- Submulțimile lui
diferite de
și
se numesc proprii, pe când
sunt denumite submulțimi improprii ale lui ![{\displaystyle A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a71bf21ad35b8fe05555041d54d1e17eeb0f490)
Fie două mulțimi
Dacă toate elementele mulțimii
sunt și elemente ale mulțimii
se va spune că
este submulțime a lui
și se notează:
sau ![{\displaystyle B\supseteq A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ea526efd98a906be636b388a21920e4b24b0d6)
1. Propoziţie. Relația de incluziune (nestrictă) posedă următoarele proprietăți:
(reflexivitate);
și
(antisimetrie);
și
(tranzitivitate).
Fie
două mulțimi.
Se numește reuniunea mulțimilor
mulțimea
formată din elementele care aparțin cel puțin uneia din mulțimile
Se notează:
sau ![{\displaystyle a\in B\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab3d81ccd6b3ea5c1c121c579e06557b3996f09)
În mod similar se definește reuniunea mai multor mulțimi
sau
sau
sau ![{\displaystyle a\in A_{n}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17583e359a9ff8e46345535bb931f2074c9875e9)
Se numește intersecție a mulțimilor
mulțimea
formată din elementele care aparțin simultan celor două mulțimi și se notează:
și ![{\displaystyle a\in B\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab3d81ccd6b3ea5c1c121c579e06557b3996f09)
În cazul a
mulțimi:
și
și
și ![{\displaystyle a\in A_{n}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17583e359a9ff8e46345535bb931f2074c9875e9)
Dacă intersecția a două mulțimi este vidă, atunci acestea se numesc mulțimi disjuncte.
Fie
o mulțime și
două submulțimi ale lui
Diferența mulțimilor
este mulțimea
formată din elementele care aparțin lui
și nu aparțin lui
Se notează:
și ![{\displaystyle a\notin B\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c61a8f67eba37292cdc914cb0d6caf970e5dd5e)
Diferența
se numește complementara lui
în raport cu
și se notează
deci:
![{\displaystyle {\mathcal {C}}A=\{x\;|\;x\in E,\;x\notin A\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a47bb6057333043e0613ff29d0fbc5a5bcc737)
Dacă
sunt două mulțimi, atunci diferența simetrică a acestora se definește ca fiind:
![{\displaystyle A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6c0f63f87e1adf60400512d1ae7fdde80c59aa)
Proprietăți ale reuniunii și intersecției
[modificare]
Dacă
este o mulțime și
atunci:
- (i)
(asociativitate)
- (ii)
(comutativitate)
- (iii)
(element neutru)
- (iv)
(idempotență).
Fie
o mulțime și
o familie de submulțimi din
(
fiind o familie de indici).
Atunci:
(Legile lui De Morgan)
Demonstrație.
Se va demonstra prima relație prin dublă incluziune.
Mai întâi fie un element
Acest lucru este echivalent cu
Astfel s-a demonstrat că
În mod similar avem:
astfel încât
astfel încât ![{\displaystyle x\in {\mathcal {C}}A_{i_{0}}\;\Leftrightarrow \;x\in \bigcup _{i\in I}\left({\mathcal {C}}A_{i}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcad295fdd35c7773c3e0671e1ac8ba391152d31)
Astfel s-a demonstrat și incluziunea inversă:
și deci prima relație din enunț este verificată.
În mod similar se demonstrează și a doua.
Caz particular.
În cazul a două mulțimi
relațiile lui De Morgan devin:
![{\displaystyle {\mathcal {C}}(A\cup B)={\mathcal {C}}A\cap {\mathcal {C}}B;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ec8146b25dedd24f5abe060900c04450a23c6a)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}(A\cap B)={\mathcal {C}}A\cup {\mathcal {C}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481cede25b4347f39fbfc855a5d0e32d2d440598)
și arată că reuniunea și intersecția sunt operațiuni duale una celeilalte.
Paradoxul lui Russell:
Fie
o mulțime și se consideră propoziția
și mulțimea
Atunci
Demonstrație.
Se presupune că
Dacă
este adevărată, adică
din definiția lui
rezultă
în care caz am avea
Dacă
este falsă, adică
din definiția lui
rezultă că
deci
Prin urmare, din
rezultă:
![{\displaystyle A\notin A\;\Rightarrow \;A\in A,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6808c640c640872a131163b0d32f93df1dc7004e)
ceea ce este absurd.
Deci ipoteza
este falsă, de unde rezultă că negația sa, adică
este adevărată.
Observație.
Această teoremă demonstrează faptul că mulțimea tuturor mulțimilor nu este mulțime, deoarece oricare ar fi mulțimea
există obiecte pe care nu le conține, de exemplu mulțimea
definită mai sus.
Mulțimile
se numesc cardinal echivalente (sau echipotente) și se notează
dacă există o funcție bijectivă
Fiecărei mulțimi
îi atașăm simbolul
care se citește cardinalul lui
și care, prin definiție, posedă proprietatea:
![{\displaystyle card\,A=card\,B\;\Leftrightarrow \;A\sim B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd652d846315ac9d4cb858c82089038a6d67b66a)
Relația binară:
![{\displaystyle card\,A\leq card\,B\;\Leftrightarrow \;\exists B'\subset B\;\land \;card\,A=card\,B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffcbcb559578a833e799513efd51beb6f821fe4)
este o relație de ordine.
O mulțime se numește
dacă verifică una din condițiile echivalente:
- (i)
![{\displaystyle {\text{ există un }}n\in \mathbb {N} {\text{ astfel încât }}A\sim \{1,2,\cdots ,n\};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4aa5722304a181399ab179d1f4bf30fbc937ef)
- (ii)
![{\displaystyle \;{\text{ oricare ar fi }}B\subsetneqq A\;{\text{ avem }}{\text{card}}A\neq {\text{card}}B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82733114c300b4e75e461397f5466682e3db5038)
O mulțime care nu este finită se numește infinită.
Numerele cardinale ale mulțimilor infinite se numesc transfinite.
Dacă
atunci
Fie
Operațiile de adunare, înmulțire și ridicare la putere a numerelor cardinale se definesc astfel:
- (i)
![{\displaystyle a+b=\,card\,(A\cup B),\;{\text{(în ipoteza că}}\;A\cap B=\emptyset );}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681f8f4aed11683232703a971a6bd9adc163ef1b)
- (ii)
![{\displaystyle a\cdot b=\,card\,(A\times B);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256746246e76791d3aa12e8fa0b0de5e132ca98c)
- (iii)
![{\displaystyle a^{b}=card\,A^{B},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10c4e6e8a9663ebc1f7d9ecd79171f6f9761214)
unde prin
s-a notat mulțimea funcțiilor definite pe
cu valori în
Operațiile de adunare și înmulțire ale numerelor cardinale sunt comutative, asociative și distributive una în raport cu cealaltă, iar exponențierea are următoarele proprietăți:
![{\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c},\quad (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c},\quad (a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d7abecf2cf9fdec876ea591ec74c138e7be702)
O mulțime
se numește:
- (i) numărabilă (notăm
dacă este echipotentă cu mulțimea ![{\displaystyle \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682f44bd6a1ea39ecf1e21a8290b9d5b2f504505)
- (ii) cel mult numărabilă (notăm
dacă aceasta este finită sau numărabilă;
- (iii) de puterea continuului (notăm
) dacă este echivalentă cu ![{\displaystyle \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9de9049e03e5e5a0cab57076dbe4a369c1e3a7)
Dacă
este infinită, atunci
adică
este primul număr cardinal transfinit.
Teoria mulţimilor poate fi introdusă mult mai riguros, multe din definiţiile anterioare fiind considerate axiome:
|
![{\displaystyle {\text{1. Axioma determinării:}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd6479ae0462d37529b845d9a59b7402ecee8ec)
Dacă sunt două mulțimi, iar orice element dintr-o mulțime este și în cealaltă, atunci
- (i) Există mulțimi vide, generic notate
![{\displaystyle \emptyset ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3119d38ae9d5d48c402d5168b4705d7c455745)
- (ii) Dacă
este un obiect arbitrar, atunci există mulțimea care îl conține pe ca unic element;
- (iii) Dacă
sunt obiecte diferite, atunci există o mulțime care conține pe și ca elemente.
![{\displaystyle {\text{3. Axioma bazei:}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de57a8598b11cacdccb6415e197e9627583a7e6a)
Orice mulțime nevidă conține cel puțin un element astfel încât și nu au nimic în comun.
Dacă este o proprietate (sau un ansamblu de proprietăți) pentru elementele ale lui atunci există o mulțime care conține toate elementele din cu proprietatea și nu conține alte elemente.
![{\displaystyle {\text{4. Axioma submulțimilor:}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8768787567768c3cc0ec3ce0a56ae4b2bee166a)
Pentru orice mulțime există o mulțime care conține exact submulțimile lui
![{\displaystyle {\text{5. Axioma reuniunii:}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ca63442243cf6006d82b97bebcc8483817bf41)
Pentru orice mulțime de mulțimi, există o mulțime care conține numai elementel3 mulțimilor din
![{\displaystyle {\text{6. Axioma alegerii:}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3194f1d86c663ceec2adcb40a0671cf4bffa4083)
Pentru orice mulțime de mulțimi nevide, mutual disjuncte, există o mulțime care conține exact câte un element din fiecare mulțime din
![{\displaystyle {\text{7. Axioma infinitului:}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9276adda01421cc632101ecb3aa76632a8592a32)
Există o mulțime care satisface condițiile următoare:
- (i)
este un element al lui ![{\displaystyle C;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92402978f89ec5a7e982d699f86a9673769ab7d6)
- (ii) Dacă
este din atunci și este din ![{\displaystyle C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067be67e68f60c53ce83241748d0d6249675c58d)
|
|
|
Se notează:
- mulţimile:
![{\displaystyle A,B,C...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58336b33f756dc34ab7fe01a3b6d167ede7d7f5c)
- mulţimea universală:
![{\displaystyle {\mathcal {U}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e63ea009de5efbca2fc285b8550daaed577c6b8)
- complementara unei mulţimi:
sau ![{\displaystyle {\mathcal {\bar {A}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbc046f09b746f0abbe6a1444045a11c9bf1219)
- relaţia de incluziune (nestrictă):
![{\displaystyle A\subseteq B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09068bd2f7ba899aeb883ebe670b2ad07b0c851)
- mulţimea vidă:
![{\displaystyle \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af50205f42bb2ec3c666b7b847d2c7f96e464c7)
- reuniunea a două mulţimi:
![{\displaystyle A\cup B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb575990bcfbcdf616aa6fd76e8b30bf7fd2169)
- intersecţia a două mulţimi:
![{\displaystyle A\cap B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb27b38cf9eac6060e67b61f66cd9beec5067f81)
- diferenţa a două mulţimi:
![{\displaystyle A\setminus B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef797ed5deb971321592e34281d9fac27c3249d)
Există relaţiile:
![{\displaystyle A\subseteq {\mathcal {U}},\;A\subseteq A,\;,\emptyset \subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e389b1454dd51869f14e0c10c08089685b5fe79)
![{\displaystyle A=B\;\Leftrightarrow \;A\subseteq B\wedge B\subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4824293d2fbedf91045d76c3148ac4e0ab863c0)
- reuniune:
![{\displaystyle A\cup B=\{x|\;x\in A\lor x\in B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cceb3e8a3b3328f5be32a33b22ad65a94485ef50)
- intersecţie:
![{\displaystyle A\cap B=\{x|\;x\in A\land x\in B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dde8cba5af24c972125e53c3d64469219ddda08)
- comutativitate:
![{\displaystyle A\cup B=B\cup A,\;A\cap B=B\cap A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac97b9c44509a7249a1217a8e5b500b3aedbdbc)
- asociativitate:
![{\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C,\;A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c2034d734f12e002ae87690ab1c11b67e9a3be)
- idempotenţă:
![{\displaystyle A\cap A=A,\;A\cup A=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f910cc7733f8d40a53078458d6252269f063c588)
- dominare:
![{\displaystyle A\cap \emptyset =\emptyset ,\;A\cup {\mathcal {U}}={\mathcal {U}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df99b2383bcbe39b0977d6706a0defdd7346b0c)
- identitate:
![{\displaystyle A\cup \emptyset =A,\;A\cap {\mathcal {U}}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db84c70203358d19a1a4588db3e799adfa94b5d)
- complementara unei mulţimi:
![{\displaystyle A'=\{x\in I|\;x\notin A\},\;A\cup A'={\mathcal {U}},\;A\cap A'=\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3bf460c1f48beb703dd3314d83c305bdf03571)
- legile lui De Morgan:
![{\displaystyle (A\cup B)'=A'\cap B',\;(A\cap B)'=A'\cup B'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed73ed9fdadc8440c27d125330e51dcc9b109b20)
- diferenţa a două mulţimi:
![{\displaystyle C=B\setminus A=\{x|\;x\in B\land x\notin A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf51ab172cfd1145791434a2abd2072a2a33fa3)
- proprietăţi ale diferenţei a două mulţimi:
dacă ![{\displaystyle A\cap B=\emptyset ,\;(A\setminus B)\cap C=(A\cap C)\setminus (B\cap C),\;A'={\mathcal {U}}\setminus A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd2572fe119f6835f2910acc5ff3a7c88c417d5)
- produs cartezian:
![{\displaystyle C=A\times B=\{(x,y)\;|\;x\in A\land y\in B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a12802a64fafda0a82ed10ce50e257b2c171ef)
|
|
|
---|
| I. Noţiuni introductive | 1. Mulțimi, numere, structuri | | | 2. Sisteme de ecuații liniare | | | 3. Funcții elementare | |
| | II. Calculul diferențial | 1. Șiruri și serii | | | 2. Funcții: limite și continuitate | | | 3. Derivate și diferențiale | | | 4. Șiruri și serii de funcții | | | 5. Funcții de mai multe variabile | | | 6. Funcții implicite | | | 7. Schimbări de variabile | |
| | III. Calculul integral | 1. Integrale definite și nedefinite | | | 2. Extinderea noțiunii de integrală definită | | | 3. Integrale curbilinii | | | 4. Integrale duble și de suprafață | | | 5. Integrale triple | |
| | IV. Ecuații
diferențiale | 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi | | | 2. Ecuații diferențiale de ordin superior | | | 3. Sisteme de ecuații diferențiale | | | 4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi | |
| | Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv. |
|