Analiză matematică/Mulțimi

Noțiunea de mulțime este un concept de bază al matematicii obţinut în urma unui proces de abstractizare.

Se vor nota mulţimile cu litere majuscule: $A,B,C,\mathrm{...};X,Y,Z,\mathrm{...}$ iar elementele acestora cu litere mici: $a,b,c,\mathrm{...};x,y,z\mathrm{...}$ Familiile de mulţimi se vor nota cu litere ronde: $𝒜,ℬ,𝒞,\mathrm{...};𝒳,𝒴,𝒵,\mathrm{....}$

Dacă o mulțime este indicată prin elementele sale, mulțimea se notează enumerând între acolade aceste elemente. Dacă mulțimea este dată printr-o proprietate prin care elementele acesteia se disting de cele care nu aparțin mulțimii, atunci mulțimea se notează specificând această proprietate.

Mulțimea care nu are niciun element se numește mulțimea vidă și se notează $\mathrm{\varnothing }.$

Exemple.

1) Mulțimea $A$ formată din elementele $a,b,c,d$ se notează:

$A=\{a,b,c,d\}.$

2) Mulțimea $M$ formată din numerele naturale mai mari decât 100 se notează:

$M=\{x|x>100\}.$

Dacă un element $a$ aparține mulțimii $A$ se notează $a\in A.$

Relaţii între mulţimi

1. Definiție. Fie A şi B două mulţimi. Atunci se va scrie şi se va nota:

• $A\subseteq B\iff ((\mathrm{\forall }x)x\in A\Rightarrow x\in B)$ (A este inclusă în B);
• $A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ (A este egală cu B);
• $A\subset B\iff A\subseteq B\wedge A\ne B$ (A este inclusă strict în B);
• Prin submulțime (parte) a unei mulțimi $A$ se înțelege o mulțime inclusă în $A.$
• Submulțimile lui $A$ diferite de $\mathrm{\varnothing }$ și $A$ se numesc proprii, pe când $\mathrm{\varnothing },A$ sunt denumite submulțimi improprii ale lui $A.$

Fie două mulțimi $A,B.$ Dacă toate elementele mulțimii $A$ sunt și elemente ale mulțimii $B,$ se va spune că $A$ este submulțime a lui $B$ și se notează:

$A\subseteq A$ sau $B\supseteq A.$

1. Propoziţie. Relația de incluziune (nestrictă) posedă următoarele proprietăți:

1. $A\subseteq A$ (reflexivitate);
2. $A\subseteq B$ și $B\subseteq A\Rightarrow A=B$ (antisimetrie);
3. $A\subseteq B$ și $B\subseteq C\Rightarrow A=C$ (tranzitivitate).

Operații cu mulțimi

Fie $A,B$ două mulțimi. Se numește reuniunea mulțimilor $A,B$ mulțimea $S$ formată din elementele care aparțin cel puțin uneia din mulțimile $A,B.$ Se notează:

$S=A\cup B=\{a|a\in A$ sau $a\in B\}.$

În mod similar se definește reuniunea mai multor mulțimi $A_1,A_2,\cdots ,A_n,n\in \mathbb{N}:$

$\bigcup _{i=1}{A}_i=A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n=\{a|a\in A_1$ sau $a\in A_2$ sau $\cdots$ sau $a\in A_n\}.$

Se numește intersecție a mulțimilor $A,B$ mulțimea $I$ formată din elementele care aparțin simultan celor două mulțimi și se notează:

$I=A\cap B=\{a|a\in A$ și $a\in B\}.$

În cazul a $n$ mulțimi:

$\bigcap _{i=1}{A}_i=A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n=\{a|a\in A_1$ și $a\in A_2$ și $\cdots$ și $a\in A_n\}.$

Dacă intersecția a două mulțimi este vidă, atunci acestea se numesc mulțimi disjuncte.

Fie $E$ o mulțime și $A,B$ două submulțimi ale lui $E.$ Diferența mulțimilor $A,B$ este mulțimea $D$ formată din elementele care aparțin lui $A$ și nu aparțin lui $B.$ Se notează:

$D=A\setminus B=\{a|a\in A$ și $a\notin B\}.$

Diferența $E\setminus A$ se numește complementara lui $A$ în raport cu $E$ și se notează $𝒞A,$ deci:

$𝒞A=\{x|x\in E,x\notin A\}.$

Dacă $A,B$ sunt două mulțimi, atunci diferența simetrică a acestora se definește ca fiind:

$A\mathrm{\Delta }B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).$

Proprietăți ale reuniunii și intersecției

Dacă $M$ este o mulțime și $A,B,C\in 𝒫(M),$ atunci:

(i)   $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C,A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$   (asociativitate)

(ii)   $A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$   (comutativitate)

(iii)   $A\cap M=A,A\cup \mathrm{\varnothing }=A$   (element neutru)

(iv)   $A\cap A=A,A\cup A=A.$   (idempotență).

Legile lui De Morgan

Fie $E$ o mulțime și $(A_i{)}_{i\in I}$ o familie de submulțimi din $E$ ($I$ fiind o familie de indici). Atunci:

$\begin{array}{c}𝒞\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcap _{i\in I}\left(𝒞A_i\right)\\ 𝒞\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcup _{i\in I}\left(𝒞A_i\right)\end{array}$   (Legile lui De Morgan)

Demonstrație. Se va demonstra prima relație prin dublă incluziune. Mai întâi fie un element $x\in 𝒞\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right).$ Acest lucru este echivalent cu $x\notin \bigcup _{i\in I}{A}_i\iff x\notin A_i,\mathrm{\forall }i\in I\iff x\in A_i,\mathrm{\forall }i\in I\iff x\in \bigcap _{i\in I}\left(𝒞A_i\right).$ Astfel s-a demonstrat că $𝒞\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)\subseteq \bigcap _{i\in I}\left(𝒞A_i\right).$

În mod similar avem:

$x\in 𝒞\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)\iff x\notin \bigcap _{i\in I}{A}_i\iff \mathrm{\exists }{i}_0\in I$ astfel încât $x\notin A_0\iff \mathrm{\exists }{i}_0\in I$ astfel încât $x\in 𝒞A_{i_0}\iff x\in \bigcup _{i\in I}\left(𝒞A_i\right).$

Astfel s-a demonstrat și incluziunea inversă: $\bigcap _{i\in I}\left(𝒞A_i\right)\subseteq 𝒞\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)$ și deci prima relație din enunț este verificată. În mod similar se demonstrează și a doua.

Caz particular. În cazul a două mulțimi $A,B,$ relațiile lui De Morgan devin:

• $𝒞(A\cup B)=𝒞A\cap 𝒞B;$
• $𝒞(A\cap B)=𝒞A\cup 𝒞B$

și arată că reuniunea și intersecția sunt operațiuni duale una celeilalte.

Paradoxul lui Russell

Paradoxul lui Russell: Fie $ℳ$ o mulțime și se consideră propoziția $p(u):u\notin u$  și mulțimea $A=\{x|x\in ℳ\wedge p(x)\}.$ Atunci $A\notin ℳ.$

Demonstrație. Se presupune că $A\in ℳ.$ Dacă $p(A)$ este adevărată, adică $A\notin A,$ din definiția lui $A$ rezultă $A\in A,$ în care caz am avea $A\notin A\Rightarrow A\in A.$ Dacă $p(A)$ este falsă, adică $A\in A,$ din definiția lui $A$ rezultă că $A\notin A,$ deci $A\in A\Rightarrow A\notin A.$ Prin urmare, din $A\in ℳ$ rezultă:

$A\notin A\Rightarrow A\in A,$

ceea ce este absurd. Deci ipoteza $A\in ℳ$ este falsă, de unde rezultă că negația sa, adică $A\notin ℳ$ este adevărată.

Observație. Această teoremă demonstrează faptul că mulțimea tuturor mulțimilor nu este mulțime, deoarece oricare ar fi mulțimea $ℳ$ există obiecte pe care nu le conține, de exemplu mulțimea $A$ definită mai sus.

Cardinalul unei mulțimi

Mulțimile $A,B$ se numesc cardinal echivalente (sau echipotente) și se notează $A\sim B,$ dacă există o funcție bijectivă $f:A\to B.$ Fiecărei mulțimi $A$ îi atașăm simbolul $cardA,$ care se citește cardinalul lui $A.$ și care, prin definiție, posedă proprietatea:

$cardA=cardB\iff A\sim B.$

Relația binară:

$cardA\le cardB\iff \mathrm{\exists }{B}^{\prime }\subset B\wedge cardA=cardB$

este o relație de ordine.

O mulțime se numește $\text{finită}$ dacă verifică una din condițiile echivalente:

(i)   $\text{ există un }n\in \mathbb{N}\text{ astfel încât }A\sim \{1,2,\cdots ,n\};$

(ii)   $\text{ oricare ar fi }B⫋A\text{ avem }\text{card}A\ne \text{card}B.$

O mulțime care nu este finită se numește infinită. Numerele cardinale ale mulțimilor infinite se numesc transfinite. Dacă $A\sim \{1,2,\cdots ,n\},$ atunci $\text{ card}A\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}n.$

Fie $a=cardA,b=cardB.$ Operațiile de adunare, înmulțire și ridicare la putere a numerelor cardinale se definesc astfel:

(i)   $a+b=card(A\cup B),\text{(în ipoteza că}A\cap B=\mathrm{\varnothing });$

(ii)   $a\cdot b=card(A\times B);$

(iii)   $a^b=card{A}^B,$

unde prin $A^B$ s-a notat mulțimea funcțiilor definite pe $B$ cu valori în $A.$

Operațiile de adunare și înmulțire ale numerelor cardinale sunt comutative, asociative și distributive una în raport cu cealaltă, iar exponențierea are următoarele proprietăți:

$a^b\cdot a^c=a^{b+c},(a^b{)}^c=a^{b\cdot c},(a\cdot b{)}^c=a^c\cdot b^c.$

O mulțime $A$ se numește:

(i) numărabilă (notăm   $cardA={\mathrm{\aleph }}_0)$ dacă este echipotentă cu mulțimea $\mathbb{N}.$

(ii) cel mult numărabilă (notăm $cardA\le {\aleph }_0)$   dacă aceasta este finită sau numărabilă;

(iii) de puterea continuului (notăm $cardA={\mathrm{\aleph }}_c$) dacă este echivalentă cu $ℝ.$

Dacă $A$ este infinită, atunci ${\mathrm{\aleph }}_0\le cardA,$ adică ${\mathrm{\aleph }}_0$ este primul număr cardinal transfinit.

Prezentare axiomatică

Teoria mulţimilor poate fi introdusă mult mai riguros, multe din definiţiile anterioare fiind considerate axiome:

$\text{1. Axioma determinării:}$ Dacă $A,B$ sunt două mulțimi, iar orice element dintr-o mulțime este și în cealaltă, atunci $A=B.$ $\text{2. Axioma mulțimilor elementare:}$ (i) Există mulțimi vide, generic notate $\mathrm{\varnothing };$ (ii) Dacă $a$ este un obiect arbitrar, atunci există mulțimea $\{a\}$ care îl conține pe $a$ ca unic element; (iii) Dacă $a,b$ sunt obiecte diferite, atunci există o mulțime $\{a,b\}$ care conține pe $a$ și $b$ ca elemente. $\text{3. Axioma bazei:}$ Orice mulțime nevidă $X$ conține cel puțin un element $x$ astfel încât $x$ și $X$ nu au nimic în comun. Dacă $𝔓$ este o proprietate (sau un ansamblu de proprietăți) pentru elementele $x$ ale lui $X,$ atunci există o mulțime $Y$ care conține toate elementele din $X$ cu proprietatea $𝔓$ și nu conține alte elemente. $\text{4. Axioma submulțimilor:}$ Pentru orice mulțime $A,$ există o mulțime $𝒫(A)$ care conține exact submulțimile lui $A.$ $\text{5. Axioma reuniunii:}$ Pentru orice mulțime $A$ de mulțimi, există o mulțime $B$ care conține numai elementel3 mulțimilor din $A.$ $\text{6. Axioma alegerii:}$ Pentru orice mulțime $M$ de mulțimi nevide, mutual disjuncte, există o mulțime care conține exact câte un element din fiecare mulțime din $M.$ $\text{7. Axioma infinitului:}$ Există o mulțime $C$ care satisface condițiile următoare: (i) $\mathrm{\varnothing }$ este un element al lui $C;$ (ii) Dacă $x$ este din $C,$ atunci și $\{x\}$ este din $C.$

Rezumat

Se notează: mulţimile: $A,B,C\mathrm{...}$ mulţimea universală: $𝒰$ complementara unei mulţimi: ${𝒜}^{\prime }$ sau $\overline{𝒜}$ relaţia de incluziune (nestrictă): $A\subseteq B$ mulţimea vidă: $\mathrm{\varnothing }$ reuniunea a două mulţimi: $A\cup B$ intersecţia a două mulţimi: $A\cap B$ diferenţa a două mulţimi: $A\setminus B$ Există relaţiile: $A\subseteq 𝒰,A\subseteq A,,\mathrm{\varnothing }\subseteq A$ $A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ reuniune: $A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$ intersecţie: $A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$ comutativitate: $A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$ asociativitate: $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C,A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$ idempotenţă: $A\cap A=A,A\cup A=A$ dominare: $A\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing },A\cup 𝒰=𝒰$ identitate: $A\cup \mathrm{\varnothing }=A,A\cap 𝒰=A$ complementara unei mulţimi: $A^{\prime }=\{x\in I|x\notin A\},A\cup A^{\prime }=𝒰,A\cap A^{\prime }=\mathrm{\varnothing }$ legile lui De Morgan: $(A\cup B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cap B^{\prime },(A\cap B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B^{\prime }$ diferenţa a două mulţimi: $C=B\setminus A=\{x|x\in B\wedge x\notin A\}$ proprietăţi ale diferenţei a două mulţimi: $B\setminus A=B\setminus (A\cap B),B\setminus A=B\cap A^{\prime },A\setminus A=\mathrm{\varnothing },A\setminus B=A$ dacă $A\cap B=\mathrm{\varnothing },(A\setminus B)\cap C=(A\cap C)\setminus (B\cap C),A^{\prime }=𝒰\setminus A$ produs cartezian: $C=A\times B=\{(x,y)|x\in A\wedge y\in B\}$