Analiză matematică/Mulțimi

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Jump to navigation Jump to search

Noțiunea de mulțime este un concept de bază al matematicii obţinut în urma unui proces de abstractizare.

Se vor nota mulţimile cu litere majuscule: iar elementele acestora cu litere mici: Familiile de mulţimi se vor nota cu litere ronde:

Dacă o mulțime este indicată prin elementele sale, mulțimea se notează enumerând între acolade aceste elemente. Dacă mulțimea este dată printr-o proprietate prin care elementele acesteia se disting de cele care nu aparțin mulțimii, atunci mulțimea se notează specificând această proprietate.

Mulțimea care nu are niciun element se numește mulțimea vidă și se notează

Exemple.

1) Mulțimea formată din elementele se notează:

2) Mulțimea formată din numerele naturale mai mari decât 100 se notează:

Dacă un element aparține mulțimii se notează

Relaţii între mulţimi[modificare]

1. Definiție. Fie A şi B două mulţimi. Atunci se va scrie şi se va nota:

  • (A este inclusă în B);
  • (A este egală cu B);
  • (A este inclusă strict în B);
  • Prin submulțime (parte) a unei mulțimi se înțelege o mulțime inclusă în
  • Submulțimile lui diferite de și se numesc proprii, pe când sunt denumite submulțimi improprii ale lui

Fie două mulțimi Dacă toate elementele mulțimii sunt și elemente ale mulțimii se va spune că este submulțime a lui și se notează:

sau

1. Propoziţie. Relația de incluziune (nestrictă) posedă următoarele proprietăți:

  1. (reflexivitate);
  2. și (antisimetrie);
  3. și (tranzitivitate).

Operații cu mulțimi[modificare]

Fie două mulțimi. Se numește reuniunea mulțimilor mulțimea formată din elementele care aparțin cel puțin uneia din mulțimile Se notează:

sau

În mod similar se definește reuniunea mai multor mulțimi

sau sau sau

Se numește intersecție a mulțimilor mulțimea formată din elementele care aparțin simultan celor două mulțimi și se notează:

și

În cazul a mulțimi:

și și și

Dacă intersecția a două mulțimi este vidă, atunci acestea se numesc mulțimi disjuncte.

Fie o mulțime și două submulțimi ale lui Diferența mulțimilor este mulțimea formată din elementele care aparțin lui și nu aparțin lui Se notează:

și

Diferența se numește complementara lui în raport cu și se notează deci:

Dacă sunt două mulțimi, atunci diferența simetrică a acestora se definește ca fiind:

Proprietăți ale reuniunii și intersecției[modificare]

Dacă este o mulțime și atunci:

(i)     (asociativitate)
(ii)     (comutativitate)
(iii)     (element neutru)
(iv)     (idempotență).

Legile lui De Morgan[modificare]

Fie o mulțime și o familie de submulțimi din ( fiind o familie de indici). Atunci:

  (Legile lui De Morgan)

Demonstrație. Se va demonstra prima relație prin dublă incluziune. Mai întâi fie un element Acest lucru este echivalent cu Astfel s-a demonstrat că

În mod similar avem:

astfel încât astfel încât

Astfel s-a demonstrat și incluziunea inversă: și deci prima relație din enunț este verificată. În mod similar se demonstrează și a doua.

Caz particular. În cazul a două mulțimi relațiile lui De Morgan devin:

și arată că reuniunea și intersecția sunt operațiuni duale una celeilalte.

Paradoxul lui Russell[modificare]

Paradoxul lui Russell: Fie o mulțime și se consideră propoziția   și mulțimea Atunci

Demonstrație. Se presupune că Dacă este adevărată, adică din definiția lui rezultă în care caz am avea Dacă este falsă, adică din definiția lui rezultă că deci Prin urmare, din rezultă:

ceea ce este absurd. Deci ipoteza este falsă, de unde rezultă că negația sa, adică este adevărată.

Observație. Această teoremă demonstrează faptul că mulțimea tuturor mulțimilor nu este mulțime, deoarece oricare ar fi mulțimea există obiecte pe care nu le conține, de exemplu mulțimea definită mai sus.

Cardinalul unei mulțimi[modificare]

Mulțimile se numesc cardinal echivalente (sau echipotente) și se notează dacă există o funcție bijectivă Fiecărei mulțimi îi atașăm simbolul care se citește cardinalul lui și care, prin definiție, posedă proprietatea:

Relația binară:

este o relație de ordine.

O mulțime se numește dacă verifică una din condițiile echivalente:

(i)  
(ii)  

O mulțime care nu este finită se numește infinită. Numerele cardinale ale mulțimilor infinite se numesc transfinite. Dacă atunci

Fie Operațiile de adunare, înmulțire și ridicare la putere a numerelor cardinale se definesc astfel:

(i)  
(ii)  
(iii)  

unde prin s-a notat mulțimea funcțiilor definite pe cu valori în

Operațiile de adunare și înmulțire ale numerelor cardinale sunt comutative, asociative și distributive una în raport cu cealaltă, iar exponențierea are următoarele proprietăți:

O mulțime se numește:

(i) numărabilă (notăm   dacă este echipotentă cu mulțimea
(ii) cel mult numărabilă (notăm   dacă aceasta este finită sau numărabilă;
(iii) de puterea continuului (notăm ) dacă este echivalentă cu

Dacă este infinită, atunci adică este primul număr cardinal transfinit.

Prezentare axiomatică[modificare]

Teoria mulţimilor poate fi introdusă mult mai riguros, multe din definiţiile anterioare fiind considerate axiome:


Dacă sunt două mulțimi, iar orice element dintr-o mulțime este și în cealaltă, atunci

(i) Există mulțimi vide, generic notate
(ii) Dacă este un obiect arbitrar, atunci există mulțimea care îl conține pe ca unic element;
(iii) Dacă sunt obiecte diferite, atunci există o mulțime care conține pe și ca elemente.


Orice mulțime nevidă conține cel puțin un element astfel încât și nu au nimic în comun. Dacă este o proprietate (sau un ansamblu de proprietăți) pentru elementele ale lui atunci există o mulțime care conține toate elementele din cu proprietatea și nu conține alte elemente.


Pentru orice mulțime există o mulțime care conține exact submulțimile lui


Pentru orice mulțime de mulțimi, există o mulțime care conține numai elementel3 mulțimilor din


Pentru orice mulțime de mulțimi nevide, mutual disjuncte, există o mulțime care conține exact câte un element din fiecare mulțime din


Există o mulțime care satisface condițiile următoare:

(i) este un element al lui
(ii) Dacă este din atunci și este din

Rezumat[modificare]

Se notează:

  • mulţimile:
  • mulţimea universală:
  • complementara unei mulţimi: sau
  • relaţia de incluziune (nestrictă):
  • mulţimea vidă:
  • reuniunea a două mulţimi:
  • intersecţia a două mulţimi:
  • diferenţa a două mulţimi:

Există relaţiile:

  • reuniune:
  • intersecţie:
  • comutativitate:
  • asociativitate:
  • idempotenţă:
  • dominare:
  • identitate:
  • complementara unei mulţimi:
  • legile lui De Morgan:
  • diferenţa a două mulţimi:
  • proprietăţi ale diferenţei a două mulţimi: dacă
  • produs cartezian: