Analiză matematică/Numere complexe

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Jump to navigation Jump to search

Numerele complexe au fost introduse ca răspuns la necesitatea rezolvării ecuațiilor de gradul al doilea care nu au soluții în mulțimea numerelor reale.

Definirea numerelor complexe[modificare]

Soluțiile ecuației de gradul al doilea:

unde

sunt date de:

unde este discriminantul ecuației. Dacă atunci ecuația nu admite soluții reale. Se definește unitatea imaginară i cu proprietatea:

Mulțimea numerelor complexe este formată din numerele de forma unde

Numărul real se numește partea reală a numărului complex iar partea imaginară. Se notează:

Prin introducerea numerelor complexe, ecuația de gradul al doilea admite soluții și pentru

Algebra numerelor complexe[modificare]

Un număr complex poate fi scris:

unde

Două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă părțile reale și respectiv imaginare ale acestora sunt egale:

și

Adunarea și scăderea numerelor complexe se definește astfel:

Înmulțirea numerelor complexe se definește astfel:

Caz particular: Dacă unul din numere este real prin înmulțirea acestuia cu numărul complex se obține:

Proprietățile înmulțirii numerelor complexe:

  • asociativitate:
  • comutativitate:
  • existența elementului neutru 1:
  • orice număr complex (de modul nenul, adică sau ) admite un invers dat de:


Toate aceste patru proprietăți arată că este un grup comutativ.

Modulul numărului complex se definește ca fiind:

iar conjugatul acestuia este:

Se observă că:

  pentru orice

Planul complex[modificare]

Reprezentarea numărului complex

Orice număr complex poate fi reprezentat în mod unic în plan cu ajutorul unui sistem de coordonate rectangular, ale cărui axe sunt axa reală și axa imaginară. Reciproc, oricărui punct din plan îi corespunde un număr complex, numit afixul punctului respectiv.

Formula lui Moivre[modificare]

Formula lui Moivre se poate demonstra prin inducție matematică:

pentru