Analiză matematică/Mulțimi/Exerciții

1. Să se arate că diferența simetrică a două mulțimi are proprietățile:

a)   $A\Delta B=B\Delta A$ (comutativitate);

b)   $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$ (asociativitate);

c)   $A\Delta \emptyset =\emptyset \Delta A=A\quad (\emptyset$   este element neutru față de $\Delta );$

d)   $A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C)$   (distributivitatea $\cap$ față de $\Delta$).

R. Se va ține cont că:

$A\Delta B=(A\cup B)\setminus (B\cap A).$

---

2. Fie $A,B$ două mulțimi. Să se arate că:

a)   ${\mathcal {P}}(A)\cup {\mathcal {P}}(B)\subset {\mathcal {P}}(A\cup B);$

b)   ${\mathcal {P}}(A)\cap {\mathcal {P}}(B)={\mathcal {P}}(A\cap B);$

c)   ${\mathcal {P}}(\emptyset )\neq \emptyset .$

d) Să se scrie elementele mulțimii ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\{a\})).$

R. a) Avem:

$X\in {\mathcal {P}}(A)\cup {\mathcal {P}}(B)\;\Leftrightarrow \;X\in {\mathcal {P}}(A)\;\lor \;X\in {\mathcal {P}}(B)\;\Leftrightarrow \;X\subset A\;\lor \;X\subset B\;\Rightarrow$

$\Rightarrow \;X\subset A\cup B\;\Leftrightarrow \;X\in {\mathcal {P}}(A\cup B).$

Deci ${\mathcal {P}}(A)\cup {\mathcal {P}}(B)\subset {\mathcal {P}}(A\cup B).$ Această incluziune este în general strictă și se poate demonstra că devine egalitate dacă și numai dacă $A\subset B$ sau $B\subset A.$

b) Demonstrație similară.

c) Se observă că:

${\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}\neq \emptyset .$

d)   ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\{a\}))={\mathcal {P}}(\{\emptyset ,\{a\}\})=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\{a\}\},\{\emptyset ,\{a\}\}\},$

(adică întâi partea vidă, apoi părțile formate cu un element, apoi cu cele două elemente).

---

3. Fie $(A_{i})_{i\in I},\;(B_{i})_{i\in I}$ două familii de mulțimi și $A$ o mulțime oarecare ($I,J$ - familii de indici). Atunci:

a) $A\cap \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}(A\cap A_{i});$

b) $A\cup \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}(A\cup A_{i});$

c) $\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in J}B_{j}\right)=\bigcup _{(i,j)\in I\times J}(A_{i}\cap B_{j});$

d) $\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{i\in J}B_{j}\right)=\bigcap _{(i,j)\in I\times J}(A_{i}\cup B_{j}).$

---