1.
Să se arate că diferența simetrică a două mulțimi are proprietățile:
a)
(comutativitate);
b)
(asociativitate);
c)
este element neutru față de
d)
(distributivitatea
față de
).
R.
Se va ține cont că:
![{\displaystyle A\Delta B=(A\cup B)\setminus (B\cap A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6feae0a67239bf15166555aa905a1b508e11cf)
2. Fie
două mulțimi.
Să se arate că:
a)
b)
c)
d) Să se scrie elementele mulțimii
R.
a) Avem:
![{\displaystyle X\in {\mathcal {P}}(A)\cup {\mathcal {P}}(B)\;\Leftrightarrow \;X\in {\mathcal {P}}(A)\;\lor \;X\in {\mathcal {P}}(B)\;\Leftrightarrow \;X\subset A\;\lor \;X\subset B\;\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8336674efab82f00eebe90ad94bb69cdfa498dd0)
![{\displaystyle \Rightarrow \;X\subset A\cup B\;\Leftrightarrow \;X\in {\mathcal {P}}(A\cup B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2e9a45bdd54fcc7a355b5483eea14e83e8d9eb)
Deci
Această incluziune este în general strictă și se poate demonstra că devine egalitate dacă și numai dacă
sau
b) Demonstrație similară.
c) Se observă că:
![{\displaystyle {\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}\neq \emptyset .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799e699e96a799db422983b54067de5f9030c38d)
d)
(adică întâi partea vidă, apoi părțile formate cu un element, apoi cu cele două elemente).
3.
Fie
două familii de mulțimi și
o mulțime oarecare (
- familii de indici).
Atunci:
a)
b)
c)
d)
|
---|
| I. Noţiuni introductive | 1. Mulțimi, numere, structuri | | | 2. Sisteme de ecuații liniare | | | 3. Funcții elementare | |
| | II. Calculul diferențial | 1. Șiruri și serii | | | 2. Funcții: limite și continuitate | | | 3. Derivate și diferențiale | | | 4. Șiruri și serii de funcții | | | 5. Funcții de mai multe variabile | | | 6. Funcții implicite | | | 7. Schimbări de variabile | |
| | III. Calculul integral | 1. Integrale definite și nedefinite | | | 2. Extinderea noțiunii de integrală definită | | | 3. Integrale curbilinii | | | 4. Integrale duble și de suprafață | | | 5. Integrale triple | |
| | IV. Ecuații
diferențiale | 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi | | | 2. Ecuații diferențiale de ordin superior | | | 3. Sisteme de ecuații diferențiale | | | 4. Ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi | |
| | Cu "ex" sunt notate paginile cu exerciţii referitoare la paragraful respectiv. |
|