Analiză matematică/Definiția funcției

De la Wikimanuale, o colecţie de manuale libere !
Jump to navigation Jump to search

Studiul anumitor procese, fenomene impune considerarea variației unei mărimi fizice în raport cu alta. De exemplu, în studiul mișcării se poate considera variația unei coordonate de pe traiectorie în raport de timpul și se spune că acea coordonată este o funcție de timp.

Definiție. Dacă printr-un procedeu se poate face ca unei variabile să îi corespundă o variabilă atunci se spune că s-a definit o funcție de pe mulțimea (numită domeniu) pe mulțimea (numită codomeniu) și se notează iar legea de corespondență se notează

Exemplu. Funcția care stabilește valoarea a ariei unui cerc de rază este

Reprezentarea unei funcții[modificare]

O funcție poate fi reprezentată prin diagrame, prin tabel, printr-un grafic sau analitic.

Reprezentarea prin diagrame[modificare]

Diagramă reprezentând o funcție cu domeniul și codomeniul

Reprezentare prin tabel[modificare]

Prin acest mod de reprezentare se indică faptul că valorilor ale argumentului corespund valorile ale argumentului

  
  

Graficul unei funcții[modificare]

Graficul unei funcţii

În cazul funcțiilor reprezentarea grafică se realizează cu ajutorul unui sistem de coordonate rectangulare unde pe axa se reprezintă valorile lui iar pe cele ale lui

În cazul funcțiilor de două variabile, de forma pentru reprezentarea grafică se va face apel la sistemul de coordonate tridimensional

Reprezentarea analitică a unei funcții[modificare]

Acest tip de scriere a unei funcții face apel la expresia matematică ce definește corespondența dintre argument și valoarea funcției în acel punct.

Exemple:

Compunerea a două funcții[modificare]

Se consideră funcțiile și Funcția notată și definită prin:

se numește compunerea funcțiilor

Observații.

(i) În general, compunerea a două funcții nu este comutativă (dacă este posibilă în ambele sensuri).
(ii) Pentru a putea compune funcțiile (în această ordine) este necesar ca codomeniul lui să fie egal cu domeniul de definiție a lui

Inversa unei funcții[modificare]

O funcție se numește injectivă dacă

O funcție se numește surjectivă dacă

O funcție se numește bijectivă dacă este injectivă și surjectivă. În acest caz, se spune că mulțimile sunt în corespondență biunivocă.

O funcție se numește inversabilă dacă există o funcție care satisface simultan condițiile:

(i)
(ii)

Funcții elementare[modificare]

Câteva funcții elementare (care vor fi studiate ulterior detaliat) sunt:

  • funcția putere: unde  
  • funcția exponențială: unde  
  • funcția logaritmică: unde
  • funcțiile trigonometrice:
    • sinus:
    • cosinus:
    • tangentă:
    • cotangentă:
  • funcțiile trigonometrice inverse:
  • funcția signum (funcția semn):